Normalenform einer Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:07 Mo 22.05.2006 | | Autor: | bamby |
Hallo ihr Lieben,
gibt es jemanden, der mir auf einfache Art und Weise erklären kann, weshalb die Normalenform für Geraden nur im 2-dim. Bereich gilt? Wenn nicht für den 3-dim., warum dann auch für Ebenen?
Ist folgende Aufgabe korrekt bearbeitet?
gegeben g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-2 \\ 5}
[/mm]
Normalenform: 2x1- 5x2-45=0 ?
Wie kann ich aber aus folgender Normalenform 5x1-3x2+6 = 0 eine Geradengleichung machen?
Vielen lieben Dank und euch noch einen wundervollen Abend!
bamby
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:49 Di 23.05.2006 | | Autor: | Javierchu |
Im dreidimensionalen Raum gibt es unendlich viele Vektoren, die senkrecht auf die Gerade stehen (stell dir das wie einen Reißnagel vor ... die Vektoren am Kopf des Reißnagels stehen alle senkrecht auf die Nadel). Daher kann es keine Normalenform geben. Mit dem Gedanken erschließt sich dir sicher auch, warum die Ebene im dreidimensionalen Raum eine Normalenform besitzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Di 23.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo ihr Lieben,
Hi bamby.
> gibt es jemanden, der mir auf einfache Art und Weise
> erklären kann, weshalb die Normalenform für Geraden nur im
> 2-dim. Bereich gilt? Wenn nicht für den 3-dim., warum dann
> auch für Ebenen?
Ich finde eigentlich, Javierchu hat es schon sehr gut erklärt, mit seinem Satz: Im dreidimensionalen Raum gibt es unendlich viele Vektoren, die senkrecht auf die Gerade stehen. Im zwei Dimensionalen gilt eben die Formel [mm] $m_1*m_2=-1$ [/mm] was für uns erst weiter unten interessant wird.
>
> Ist folgende Aufgabe korrekt bearbeitet?
> gegeben g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 7}[/mm] +
> [mm]\lambda*\vektor{-2 \\ 5}[/mm]
> Normalenform: 2x1- 5x2-45=0 ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mach doch mal die Probe. Der Ortsvektor [mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] muss ebenfalls ein Punkt der Normalenform sein. Das ist aber jetzt nicht der Fall.
Aus der Formel [mm] $m_1*m_2=-1$ [/mm] kann man folgendes herleiten, lautet der Richtungsvektor einer Geraden:
[mm] \vektor{\red{-y}\\\blue{x}}, [/mm]
so lautet unser Normalenvektor
[mm] \vec{n}=\vektor{\blue{x}\\\red{y}}
[/mm]
> Wie kann ich aber aus folgender Normalenform 5x1-3x2+6 = 0
> eine Geradengleichung machen?
Den Richtungsvektor kannst du ja mit der geraden erwähnten Formel 'einfach ablesen'. Oder aber du entscheidest dich, zwei Punkte zu suchen, die auf der Gerade liegen.
[mm] $5x_1-3x_2+6 [/mm] = 0 | -6$
[mm] $5x_1-3x_2 [/mm] = -6$
Wir definieren nun [mm] x_1 [/mm] als null
[mm] x_1:=0 [/mm] ; [mm] x_2= [/mm] 2
Unser erster Punkt der Geraden lautet A(0|2)
Und wenn du auf die selbe Weise noch einen weiteren Punkt suchst, kannst du schon wieder eine Geradengleichung erstellen.
>
> Vielen lieben Dank und euch noch einen wundervollen Abend!
> bamby
LG
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:18 Di 23.05.2006 | | Autor: | bamby |
Und geht es auch ohne diese gegebene Regel m1*m2=-1, die ist mir nämlich noch sehr undurchsichtig.
Ich habe jetzt sehr lange weitergerechnet, aber ich komme für beide Aufgaben auf falsche Ergebnisse.
Kann mir jemand zur Kontrolle vielleicht einmal die korrekten sagen?
Ich verzweifle...
aber vielen Dank schon mal für die netten Tipps:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 23.05.2006 | | Autor: | Disap |
Moin!
> Und geht es auch ohne diese gegebene Regel m1*m2=-1, die
> ist mir nämlich noch sehr undurchsichtig.
Die musst du ja auch nicht verwenden. Sie leitet es nur her.
> Ich habe jetzt sehr lange weitergerechnet, aber ich komme
> für beide Aufgaben auf falsche Ergebnisse.
> Kann mir jemand zur Kontrolle vielleicht einmal die
> korrekten sagen?
> Ich verzweifle...
Wenn wir die Geradengleichung:
g: $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] $ + $ [mm] \lambda\cdot{}\vektor{-2 \\ 5} [/mm] $
in eine Normalenform (statt Parameterform) umwandeln wollen, geht das wie gesagt mit der Fertigformel:
$ [mm] \vektor{\red{-y}\\\blue{x}} \Rightarrow \vec{n}=\vektor{\blue{x}\\\red{y}} [/mm] $
Unser Richtungsvektor lautet [mm] \vektor{\red{-2} \\\blue{5}} [/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{n}=\vektor{\blue{5}\\\red{2}} [/mm]
D. h. unsere Normalenform lautet erst einmal
[mm] $5x_1+2x_2 [/mm] = d$
Setzen wir nun den Ortsvektor ein, erhalten wir das d
[mm] $5x_1+2x_2 [/mm] =5*5+2*7 $
g: [mm] 5x_1+2x_2=39
[/mm]
Machen wir einmal die Probe und nehmen einen weiteren Punkt der Geraden, indem wir lamda gleich 1 setzen
[mm] \vec{a}=\vektor{5 \\ 7} [/mm] $ + $ [mm] 1\cdot{}\vektor{-2 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{3\\12}
[/mm]
Setzen wir den Punkt (3|12) mal in unsere Normalenform ein:
[mm] $5\cdot [/mm] 3+2 [mm] \cdot [/mm] 12=39$
Unsere Normalenform ist also richtig.
Unsere Normalenform ist:
g: 5x1-3x2 = -6 (siehe meine vorherige Antwort)
Suchen wir nun zwei Punkte, die durch diese Gerade beschrieben werden, indem wir ein [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] suchen, dass die Gleichung erfüllt.
U. a. ist es der Punkt A(0|2)
Suchen wir einen Punkt B, indem wir definieren:
[mm] $x_1:=3$
[/mm]
[mm] $5*3-3x_2 [/mm] = -6$
[mm] $15-3x_2=-6 [/mm] |-15 |:(-3)$
[mm] $x_2=\br{-21}{-3}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = 7$
Unser Punkt B lautet also B(3|7)
Kannst du aus den Punkten A und B die Geradengleichung in Parameterform aufstellen?
MfG!
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Di 23.05.2006 | | Autor: | bamby |
Ja wäre das dann: g: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{3 \\ 5} [/mm] ?
Vielennn lieben Dank:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Di 23.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Ja wäre das dann: g: [mm]\vec{x}= \vektor{0 \\ 2}[/mm] +
> [mm]\lambda*\vektor{3 \\ 5}[/mm] ?
Genau so ist es. Überprüfen wir mal auf den Punkt B(3|7) (mit der Punktprobe). Naja, auch so kann man erkennen, dass er für lambda =1 auf der Geraden liegt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Vielennn lieben Dank:)
LG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Di 23.05.2006 | | Autor: | bamby |
 Danke für die Rettung!
|
|
|
|
