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Normalenform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 So 28.02.2010
Autor: m4rio

Aufgabe
Von d. Koordinatenform zur Normalenform

gegeben :


E: 2x1 + 5x2 + 3x3 = 12




Normalenform

[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p}) [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm]


[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p}) [/mm] * [mm] \vektor{2\\5\\3} [/mm]


wieso kann man einfach die koefizienten zum normalenvektor zusammentun?


2x1 + 5(0) + 3(0) = 12

x1 = 6

[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{6\\0\\0}) [/mm] * [mm] \vektor{2\\5\\3} [/mm]


was macht man da, um [mm] \vec{p} [/mm] zu bestimmen? verstehe die logik dahinter nicht ganz...



Außerdem steht in meinen Mitschriften, dass es 3 Möglichkeiten gibt, diese Aufgabe zu lösen... ist damit gemeint, dass man jeden der x werte benutzen kann, um auf wundersame weise den [mm] \vec{p} [/mm] zu zaubern?






        
Bezug
Normalenform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 So 28.02.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Von d. Koordinatenform zur Normalenform
>  gegeben :
>  
> E: 2x1 + 5x2 + 3x3 = 12
>  
> Normalenform
>
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{p})[/mm] * [mm]\vec{n}[/mm]     [haee]

Hier sollte auch eine Gleichung stehen. Jede Gleichung
hat ein Gleichheitszeichen.
  

> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{p})[/mm] * [mm]\vektor{2\\5\\3}[/mm]
>  
>
> wieso kann man einfach die koefizienten zum normalenvektor
> zusammentun?

Der Ausdruck  [mm] 2\,x_1 [/mm] + [mm] 5\,x_2 [/mm] + [mm] 3\,x_3 [/mm]  in der gegebenen Gleichung
von E ist ein Skalarprodukt:

      $\ [mm] 2\,x_1 [/mm] + [mm] 5\,x_2 [/mm] + [mm] 3\,x_3\ [/mm] =\ [mm] \vektor{2\\5\\3}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm]

Man kann die Ebenengleichung also auch so schreiben:

      $\ [mm] E:\quad \vektor{2\\5\\3}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\ [/mm] =\ 12$

oder auch:

      $\ [mm] E:\quad \underbrace{\vektor{2\\5\\3}}_{Normalenvektor}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-12\ [/mm] =\ 0$

Ist [mm] \vec{p} [/mm] der Ortsvektor eines beliebigen in E liegenden Punktes,
so kann man auch schreiben:

      $\ [mm] E:\quad \underbrace{\vektor{2\\5\\3}}_{Normalenvektor}*\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vec{p}\right)\ [/mm] =\ 0$


  

> 2x1 + 5(0) + 3(0) = 12
>  
> x1 = 6
>  
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{6\\0\\0})[/mm] * [mm]\vektor{2\\5\\3}[/mm]
>  
>
> was macht man da, um [mm]\vec{p}[/mm] zu bestimmen? verstehe die
> logik dahinter nicht ganz...

In der Ebene E gibt es unendlich viele Punkte. Man hat also
bei der Wahl eines Punktes [mm] P\in{E} [/mm] eine gewisse (recht große)
Freiheit. Man kann also z.B. versuchen, [mm] x_2=0 [/mm] und [mm] x_3=0 [/mm] zu
setzen und das dazu passende [mm] x_1 [/mm] zu berechnen.


> Außerdem steht in meinen Mitschriften, dass es 3
> Möglichkeiten gibt, diese Aufgabe zu lösen... ist damit
> gemeint, dass man jeden der x werte benutzen kann, um auf
> wundersame weise den [mm]\vec{p}[/mm] zu zaubern?

Ja ... und es gibt ja nicht nur 3, sondern unendlich viele
Möglichkeiten, einen Punkt in E "herauszupicken". Die 3
vorgeschlagenen sind nur die Schnittpunkte von E mit
den 3 Koordinatenachsen.


LG     Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Normalenform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 So 28.02.2010
Autor: m4rio

Dankeschön!

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