Normale, Tangente, Dreieck < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | t>0 ; [mm] ft(x)=1/t*x^3+2x^2+tx
[/mm]
a) Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Schaubild von K3.
b) Für welches t ist die Normale im Punkt [mm] Wt(-2/3*t;-2/27*t^2) [/mm] von Kt eine Ursprungsgerade?
Für dieses t bilden die Normale und die Tangente in Wt sowie die x-Achse ein Dreieck. Dieses Dreieck rotiert um die x-Achse. Berechne den Rauminhalt des dabei entstehenden Drehkörpers! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zuammen!
Ich hab Probleme beim b)-Teil dieser Aufgabe, Teil a) hat bestens geklappt,. bin auch mit dem t nicht durcheinander gekommen.
Aber bei b) komm ich einfach niht weiter, bin gestern lange dran gesessen, weiß aber nicht was ich genau tun soll.
Danke für die Antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Sa 14.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Ja Hallo Thomas! Du musst dir das so vorstellen...
Die Steigung der Tangenten bei W an k ist genau der y - Wert von W dividiert durch den X - wert von W, wenn sie durch den Nullpunkt geht.
Setze also y über x von W und setze es gleich mit der Ableitung, in der du den x - Wert von W einsetzt. Es gibt eine Gleichung nur noch mit t und dann löst du die auf.
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Sorry, habe die Aufgabe falsch verstanden. Es soll ja die Normale gemacht werden!
Zuerst leitest du die Funktion ab:
{f(t)} = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] 3 [mm] x^{2} [/mm] + 4x + t
Für x setzt du nun [mm] \bruch{-2}{3t} [/mm] ein und dann erhältst du schlussendlich
{f'(t)} = [mm] \bruch{-t}{3}
[/mm]
Diese Funktion gibt dir allerdings nur die Steigung der Tangenten an. Für die Steigung der Normalen musst du die negative reziproke Zahl der Tangentensteigung bilden. Die Funktion für die Normalensteigung lautet dann:
{f(t)} = [mm] \bruch{3}{t} [/mm]
Und jetzt kommt ein kleiner Trick, den du dir merken solltest. Die Steigung der Normalen ist
= [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm]
Dazu muss man ja zwei Punkte der Normalen kennen. Weil aber U(0/0) drauf liegt, gilt:
[mm] \Delta [/mm] y = [mm] y_{W} [/mm] und [mm] \Delta [/mm] x = [mm] x_{W}
[/mm]
Für die Steigung dieser speziellen Normalen gilt somit:
= [mm] \bruch{y_{W}}{x_{W}} [/mm]
Das kannst du mit [mm] \bruch{3}{t} [/mm] gleichsetzen und erhältst dann für t:
[mm] t_{1} [/mm] = 3 [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] = -3 [mm] \wurzel{3} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Sa 14.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Genauer gesagt ist es eine Sattelstelle, keine Wendestelle!
Bei Wendestellen gibt es einen Vorzeichenwechsel für die Tangentensteigungen.
Z.B. hast du in einem gewissen Bereich rechts von der Wendestelle positive Steigungen und links negative oder umgekehrt.
Bei Sattelstellen gibt es keinen solchen Vorzeichenwechsel. Entweder sind in beiden diesen Bereiche positive oder negative Tangentensteigungen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Sa 14.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Komme gleich wieder zurück und befasse mich dann mit diesem rotierenden Dreieck, damit du dort auch die Lösung hast.
Nehme an, dass du das t zwar rausgefunden hast, aber nachher mit ihm nichts anfangen konntest. Habe dir trotzdem mal den Lösungsweg zur Berechnung von t angegeben.
Sicher ist sicher.
Gruss jackiechan
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Hallo Thomas,
> t>0 ; [mm]ft(x)=1/t*x^3+2x^2+tx[/mm]
> a) Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Schaubild von
> K3.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht deine Zeichnung auch so aus?
> b) Für welches t ist die Normale im Punkt
> [mm]Wt(-2/3*t;-2/27*t^2)[/mm] von Kt eine Ursprungsgerade?
> Für dieses t bilden die Normale und die Tangente in Wt
> sowie die x-Achse ein Dreieck. Dieses Dreieck rotiert um
> die x-Achse. Berechne den Rauminhalt des dabei entstehenden
> Drehkörpers!
>
> Hallo zuammen!
>
> Ich hab Probleme beim b)-Teil dieser Aufgabe, Teil a) hat
> bestens geklappt,. bin auch mit dem t nicht durcheinander
> gekommen.
>
> Aber bei b) komm ich einfach niht weiter, bin gestern lange
> dran gesessen, weiß aber nicht was ich genau tun soll.
>
Was hast du denn bislang gerechnet?
Schreib's mal hier auf, damit wir sehen können, was du bisher versucht hast.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo.
Also ich habe nur das 2.Schaubild, man musste ja nur K3 zeichnen, dann braucht man nur die mittlere Zeichnung.
Bei der b) hab ich leider nichts geschafft, weil ich nicht wuesste, wie es geht!
Dankefür eure Antworten!
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Hallo Thomasito,
> Also ich habe nur das 2.Schaubild, man musste ja nur K3
> zeichnen, dann braucht man nur die mittlere Zeichnung.
>
> Bei der b) hab ich leider nichts geschafft, weil ich nicht
> wuesste, wie es geht!
Hast du versucht, die Lösung von jackiechan nachzuvollziehen und zu verstehen?
Das solltest du als erstes machen und ihm weitere Fragen stellen, wenn welche offen bleiben.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Thomasito |
Hallo.
Also ich blicke jetzt irghnedwie nicht mehr durch, es wurden so viele Antworten gepostet, immer ist was anderes geschrieben...
Geht das auch irgendwie kürzer ?
Danke!
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Hei, da bin ich wieder
Also zu meinen zwei Lösungen für t....
In der Aufgabe ist gegeben t > 0, also bleibt von meinen Lösungen nur noch die folgende übrig:
t = 3 [mm] \wurzel{3}
[/mm]
für [mm] x_{W} [/mm] und [mm] y_{W} [/mm] gilt also:
[mm] x_{W} [/mm] =- 2 [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] y_{W} [/mm] = - 2
Wenn du nun das Volumen von diesem Kegel rausfinden musst, musst du die Längen des Dreiecks kennen. Dazu musst du wissen, wo die Tangente bei W auf die x - Achse trifft. Wo die Normale die x - Achse schneidet weisst du ja schon (im Ursprung).
Du musst mal die Steigung der Tangenten haben. Die ist:
m = [mm] \bruch{-t}{3}
[/mm]
Wenn du also das t einsetzt ergibt das:
m = - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Die Gleichung der Normalen lautet also:
y = m ( x - [mm] x_{W}) [/mm] + [mm] y_{W} [/mm] = - [mm] \wurzel{3} [/mm] (x + 2 [mm] \wurzel{3} [/mm] ) - 2
Die setzt du gleich 0, für den Schnittpunkt mit der x - Achse. Dann bekommst du das:
x = [mm] \bruch{-8 \wurzel{3}}{3}
[/mm]
Nun hast du alles um den Kegel zu berechnen. Es sind zwei Kegel, weil es zwei Dreiecke hat, die rotieren. Eines mit dem Ursprung als Spitze und das andere mit der Spitze mit dem x - Wert, den wir gerade berechnet haben.
Wenn wir das erste Dreiecke rotieren lassen, liegt W auf der Grundfläche, ein Kreis mit dem Radius [mm] y_{W} [/mm] = 2. Die Höhe ist [mm] x_{W}. [/mm] Für das Volumen des rechten Kegels (Betrag nehmen) gilt also:
V = [mm] \bruch{1}{3} y_{W}^{2} \pi x_{W} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3} \wurzel{3} \pi
[/mm]
Jetzt kommen wir zum rechten Kegel (auch hier wieder Betrag nehmen):
V = [mm] \bruch{1}{3} y_{W^{2}} \pi [/mm] (- 2 [mm] \wurzel{3}- \bruch{-8}{3} \wurzel{3}) [/mm] = [mm] \bruch{8}{9} \wurzel{3} \pi
[/mm]
Jetzt zählst du diese beiden Volumina zusammen
[mm] V_{Res} [/mm] = [mm] \bruch{32}{9} \wurzel{3} \pi
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 14.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Hallihallo!
Hast du eigentlich die Lösung der Aufgabe? Wenn ja, vergleiche sie mal mit der, die ich bekommen habe.
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Hallo.
Kann mir jemand sagen, wie ich die b) nun machen muss? Die 7 beiträge von jackiechan sind so unübersichtlich und immer kommt was andres raus...
Danke!
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Hallo Thomasito,
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> Kann mir jemand sagen, wie ich die b) nun machen muss? Die
> 7 beiträge von jackiechan sind so unübersichtlich und immer
> kommt was andres raus...
>
Eigentlich habe ich keine Lust dazu - du zeigst überhaupt keine Neigung, dich mit der Lösung von Jackie ernsthaft auseinanderzusetzen. Das ist aber der einzige Weg, bei dem du die Aufgabe wirklich verstehen lernst.
Stelle zu Jackies Lösung Fragen, indem du seinen Beitrag zitierst (Button unten links vom Eingabefenster) und gezielt an der fraglichen Stelle deine Frage einfügst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe dir mal die Lösung gezeichnet, die Jackie dir schon vorgerechnet hat.
Bei b) musst du jetzt die Geraden betrachten, die das Dreieck bilden; die von ihnen eingeschlossene Fläche rotiert um die x-Achse, du musst also ein Rotationsvolumen berechnen über dem Intervall [mm] [x_N;0], [/mm] wobei [mm] x_N [/mm] die Nullstelle der Tangenten ist.
So, jetzt zeig uns mal hier deine Lösungsanätze oder Rechenwege, bitte!
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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