matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenNormale Matrizen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Normale Matrizen
Normale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Normale Matrizen: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 So 21.06.2015
Autor: Neutron

Aufgabe
Sei A [mm] \in \IC^{n,n}. [/mm] Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Sei A invertierbar. Dann ist A genau dann normal, wenn [mm] A^{-1} [/mm] normal ist.
b) Sei U [mm] \in \IC^{n,n} [/mm] unitär. Dann ist A genau dann normal, wenn [mm] U^{H}AU [/mm] normal ist.
c) A ist genau dann normal, wenn für jede Matrix B mit AB = BA folgt [mm] A^{H}B [/mm] = [mm] BA^{H}. [/mm]

Hallo,
wäre sehr dankbar wenn ihr mir bei den Aufgaben einen Ansatz geben könntet.

Die Definition von Normalität [mm] (A^{H}A [/mm] = [mm] AA^{H} [/mm] bzw. [mm] A^{ad}A [/mm] = [mm] AA^{ad}) [/mm] kenn ich. Bei der a) weis ich jedoch nicht, weich das in Zusammenhang mit der Inversen von A bringen soll.

Bei b) und c) steh ich komplett aufm Schlauch....

Neutron

        
Bezug
Normale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 So 21.06.2015
Autor: fred97


> Sei A [mm]\in \IC^{n,n}.[/mm] Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
>  a) Sei A invertierbar. Dann ist A genau dann normal, wenn
> [mm]A^{-1}[/mm] normal ist.
>  b) Sei U [mm]\in \IC^{n,n}[/mm] unitär. Dann ist A genau dann
> normal, wenn [mm]U^{H}AU[/mm] normal ist.
>  c) A ist genau dann normal, wenn für jede Matrix B mit AB
> = BA folgt [mm]A^{H}B[/mm] = [mm]BA^{H}.[/mm]
>  Hallo,
>  wäre sehr dankbar wenn ihr mir bei den Aufgaben einen
> Ansatz geben könntet.
>  
> Die Definition von Normalität [mm](A^{H}A[/mm] = [mm]AA^{H}[/mm] bzw.
> [mm]A^{ad}A[/mm] = [mm]AA^{ad})[/mm] kenn ich. Bei der a) weis ich jedoch
> nicht, weich das in Zusammenhang mit der Inversen von A
> bringen soll.

Was ist denn [mm] (A^{-1})^H [/mm]  für eine invertierbare Matrix A ? Und was ist [mm] (A^H)^{-1} [/mm] ?


>  
> Bei b) und c) steh ich komplett aufm Schlauch....

b) Setzte $B:= [mm] U^{H}AU [/mm] $

Jetzt rechne nach:

1. aus $ [mm] A^{H}A [/mm] $ = $ [mm] AA^{H} [/mm] $  folgt $ [mm] B^{H}B [/mm] $ = $ [mm] BB^{H} [/mm] $

2. aus $ [mm] B^{H}B [/mm] $ = $ [mm] BB^{H} [/mm] $ folgt $ [mm] A^{H}A [/mm] $ = $ [mm] AA^{H} [/mm] $  


c)  die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] ist klar: nimm B=A

Zu [mm] \Rightarrow [/mm] mach Du auch mal was,

FRED

>  
> Neutron


Bezug
                
Bezug
Normale Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Mo 22.06.2015
Autor: Neutron

Danke für deine Hilfe,
die b) hab ich gelöst und an der c) arbeite ich gerade.

Was ich jedoch nicht verstehe ist was du bei a) mit [mm] (A^{-1})^{H} [/mm] und [mm] (A^{H})^{-1} [/mm] meinst, was das für Matrizen sind. Da nicht gegeben ist, dass A hermetisch sein soll, sind sie nicht gleich würde ich sagen. Ich würde mit [mm] A^{-1}(A^{-1})^{H} [/mm] = [mm] A^{-1}((\overline{A})^{-1})^{T} [/mm] anfangen. Jedoch weis ich schon ab hier nicht weiter.

Bezug
                        
Bezug
Normale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Mo 22.06.2015
Autor: fred97

Für eine invertierbare Matrix $A$ ist

   $ [mm] (A^{-1})^{H} [/mm] = [mm] (A^{H})^{-1} [/mm] $ .

Das wollte ich von Dir hören (ähh.. lesen)

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]