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Normale Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mi 26.11.2014
Autor: mariem

Hallo,

Sei f (x) \in \mathbb{Q}[x] ein Polynom ungeraden Grades \geq 3 , das genau eine reele Nullstelle a \notin \mathbb{Q} hat. Ich soll zeigen, dass die Erweiterung \mathbb{Q} \leq \mathbb{Q}(a) nicht normal ist.

Ich habe mir folgendes überlegt:

f(x) ist ungeraden Grades \geq 3 , das genau eine reele Nullstelle a \notin \mathbb{Q} hat. Das bedeutet, dass es mindestens zwei weitere Nullstellen gibt, die komplex sind. Sei z, \overline{z} die beiden Nullstellen. Dann ist der Zerfällungskörper \mathbb{Q}(a, z, \overline{z}) = \mathbb{Q}(a, z) \neq \mathbb{Q}(a) .

Also, ist die Erweiterung nicht normal.

Ist es richtig?




(Ich habe die Frage auch in matheplanet.de und in onlinemathe.de gestellt.)
        
Bezug
Normale Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Mi 26.11.2014
Autor: felixf

Moin,

> Sei f (x) \in \mathbb{Q}[x] ein Polynom ungeraden Grades
> \geq 3 , das genau eine reele Nullstelle a \notin \mathbb{Q}
> hat. Ich soll zeigen, dass die Erweiterung \mathbb{Q} \leq \mathbb{Q}(a)
> nicht normal ist.
>  
> Ich habe mir folgendes überlegt:
>  
> f(x) ist ungeraden Grades \geq 3 , das genau eine reele
> Nullstelle a \notin \mathbb{Q} hat. Das bedeutet, dass es
> mindestens zwei weitere Nullstellen gibt, die komplex sind.
> Sei z, \overline{z} die beiden Nullstellen. Dann ist der
> Zerfällungskörper \mathbb{Q}(a, z, \overline{z}) = \mathbb{Q}(a, z) \neq \mathbb{Q}(a) .
>  
> Also, ist die Erweiterung nicht normal.
>  
> Ist es richtig?

Ja.

> (Ich habe die Frage auch in matheplanet.de und in
> onlinemathe.de gestellt.)

Meinst du, du verstehst es besser, wenn du die Frage gleich in mehreren Foren gleichzeitig stellst?

LG Felix

Bezug
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