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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:57 Sa 20.06.2009 | | Autor: | bobby |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe in Vorbereitung auf meine Klausur begonnen, bräuchte dabei aber mal etwas Hilfe, ich komm damit nicht zurecht...
Sei K Zerfällungskörper von [mm] x^{3}+x+1 \in \IZ_{2}[x] [/mm] und a [mm] \in [/mm] K Nullstelle von [mm] x^{3}+x+1.
[/mm]
Liefert a eine Normalbasis von [mm] \IZ_{2}(a):\IZ_{2}?
[/mm]
Also sonst habe ich immer konkret eine Nullstelle von einem Polynom bestimmen können und dann die Galoisgruppe bestimmt und die Normalbasis über die Anwendung der Automorphismen aus der Galoisgruppe bestimmt, aber hier mit dem a komm ich damit irgendwie nicht weiter...
Hat jemand von euch eine Idee dazu??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Mi 24.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Mi 24.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich habe diese Aufgabe in Vorbereitung auf meine Klausur
> begonnen, bräuchte dabei aber mal etwas Hilfe, ich komm
> damit nicht zurecht...
>
> Sei K Zerfällungskörper von [mm]x^{3}+x+1 \in \IZ_{2}[x][/mm] und a
> [mm]\in[/mm] K Nullstelle von [mm]x^{3}+x+1.[/mm]
> Liefert a eine Normalbasis von [mm]\IZ_{2}(a):\IZ_{2}?[/mm]
>
> Also sonst habe ich immer konkret eine Nullstelle von einem
> Polynom bestimmen können und dann die Galoisgruppe bestimmt
> und die Normalbasis über die Anwendung der Automorphismen
> aus der Galoisgruppe bestimmt, aber hier mit dem a komm ich
> damit irgendwie nicht weiter...
Hier geht es um endliche Koerper; die Galoisgruppe ist also [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] und wird vom Frobenius-Endomorphismus $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] erzeugt. Die Behauptung ist also, dass $a, [mm] a^2, a^4$ [/mm] eine Basis ist.
Hier kannst du jetzt [mm] $a^4 [/mm] = a [mm] \cdot a^3 [/mm] = a [mm] \cdot [/mm] (-a - 1) = a [mm] \cdot [/mm] (a + 1) = [mm] a^2 [/mm] + a$ schreiben (da $-1 = 1$ in [mm] $\IZ_2$).
[/mm]
Du sollst jetzt also zeigen, ob $a$, [mm] $a^2$ [/mm] und $a + [mm] a^2$ [/mm] zusammen eine [mm] $\IZ_2$-Basis [/mm] von [mm] $\IZ_2(a)$ [/mm] bilden. Ist dies so?
LG Felix
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