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Normäquivalenz: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Do 04.11.2010
Autor: chesn

Aufgabe
Für a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b sei der lineare Raum der stetigen Funktionen f : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit C[a,b] bezeichnet.

Zeigen Sie: Die durch

[mm] \parallel*\parallel_{\infty} [/mm] : C[0,1] [mm] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{\infty} [/mm] = [mm] max_{0 \le x \le 1} [/mm] |f(x)|

und

[mm] \parallel*\parallel_{1} [/mm] : C[0,1] [mm] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm]

gegeben Normen auf C[0,1] sind nicht äquivalent.
(Die Normeigenschaften selbst müssen nicht nachgewiesen werden.)

Hinweis: Man betrachte die Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] : [0; 1] [mm] \to \IR, f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm] .

Hallo!

Habe leider ein paar Probleme bei der Aufgabe. Hier mein Ansatz:

Habe versucht mit der gegebenen Funktionenfolge zu argumentieren: [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm]

[mm] \parallel f_{n}(x) \parallel_{\infty} [/mm] = [mm] max_{0 \le x \le 1} |f_{n}(x)| [/mm] = [mm] max_{} (0^n;...;1^n) [/mm] = 1

[mm] \parallel f_{n}(x) \parallel_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|x^n| dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]

Für die Äquivalenz muss gelten: [mm] \exists \alpha, \beta \in \IR [/mm] mit:

[mm] \alpha\parallel f_{n} \parallel_{\infty} \le \parallel f_{n} \parallel_{1} \le \beta\parallel f_{n} \parallel_{´\infty} [/mm]

hier also: [mm] \alpha*1\le\bruch{1}{n+1}\le\beta*1 [/mm]

Hier komme ich nicht weiter.. wie kann ich argumentieren, dass [mm] \alpha, \beta [/mm] nicht existieren um zu zeigen, dass die Normen nicht äquivalent sind?

Vielen Dank!!

        
Bezug
Normäquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Do 04.11.2010
Autor: fred97


> Für a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a < b sei der lineare Raum der
> stetigen Funktionen f : [a,b] [mm]\to \IR[/mm] mit C[a,b]
> bezeichnet.
>  
> Zeigen Sie: Die durch
>  
> [mm]\parallel*\parallel_{\infty}[/mm] : C[0,1] [mm]\to \IR, \parallel{f}\parallel_{\infty}[/mm]
> = [mm]max_{0 \le x \le 1}[/mm] |f(x)|
>  
> und
>  
> [mm]\parallel*\parallel_{1}[/mm] : C[0,1] [mm]\to \IR, \parallel{f}\parallel_{1}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm]
>  
> gegeben Normen auf C[0,1] sind nicht äquivalent.
> (Die Normeigenschaften selbst müssen nicht nachgewiesen
> werden.)
>  
> Hinweis: Man betrachte die Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] : [0; 1]
> [mm]\to \IR, f_{n}(x)[/mm] = [mm]x^n[/mm] .
>  Hallo!
>  
> Habe leider ein paar Probleme bei der Aufgabe. Hier mein
> Ansatz:
>  
> Habe versucht mit der gegebenen Funktionenfolge zu
> argumentieren: [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]x^n[/mm]
>  
> [mm]\parallel f_{n}(x) \parallel_{\infty}[/mm] = [mm]max_{0 \le x \le 1} |f_{n}(x)|[/mm]
> = [mm]max_{} (0^n;...;1^n)[/mm] = 1



Was soll denn das :    [mm]max_{} (0^n;...;1^n)[/mm]  sein ??   Schmeiß es raus


>  
> [mm]\parallel f_{n}(x) \parallel_{1}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{|x^n| dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>  
> Für die Äquivalenz muss gelten: [mm]\exists \alpha, \beta \in \IR[/mm]
> mit:
>  
> [mm]\alpha\parallel f_{n} \parallel_{\infty} \le \parallel f_{n} \parallel_{1} \le \beta\parallel f_{n} \parallel_{´\infty}[/mm]


         und   [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0   !!

>  
> hier also: [mm]\alpha*1\le\bruch{1}{n+1}\le\beta*1[/mm]


Annahme: die beiden Normen wären äquivalent, dann gibt es Zahlen [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] mit den obigen Eigenschaften. Verwendet man die Funktionen [mm] x^n, [/mm] so erhält man:

         [mm]\alpha\le\bruch{1}{n+1}\le\beta[/mm]  für jedes n [mm] \in \IN [/mm]

Lasse mal n [mm] \to \infty [/mm] gehen. Was stellst Du fest ?

FRED

>  
> Hier komme ich nicht weiter.. wie kann ich argumentieren,
> dass [mm]\alpha, \beta[/mm] nicht existieren um zu zeigen, dass die
> Normen nicht äquivalent sind?
>  
> Vielen Dank!!


Bezug
                
Bezug
Normäquivalenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Do 04.11.2010
Autor: chesn

Ahh, danke.. dass [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0 sein müssen habe ich nicht bedacht.
So ergibt das ganze doch einen Sinn...

Vielen Dank!!

Bezug
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