Norm und Spur < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 So 30.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
wenn ich eine Körpererweiterung L/K habe, die galois ist, dann hatten wir Norm und Spur so definiert:[mm]N(\alpha)=\produkt_{\sigma}{\sigma(\alpha)} [/mm] und [mm]Tr(\alpha)=\sum_{\sigma}{\sigma(\alpha)} [/mm]
für ein [mm] $\alpha \in [/mm] L$. Ich sehe jetzt noch nicht ein, warum [mm] $N(\alpha)\in [/mm] K$ und [mm] $Tr(\alpha)\in [/mm] K$ gilt. Die [mm] $\sigma$ [/mm] stammen doch aus der Galoisgruppe und bilden von L nach L ab? Oder sehe ich das falsch. Das [mm] $\alpha$ [/mm] ist ja i.A. auch keine Nullstelle.
konkrete Frage: Warum liegen die Werte der Norm und der Spur bei einer Galoiserweiterung L/K in K?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 So 30.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> wenn ich eine Körpererweiterung L/K habe, die galois ist,
> dann hatten wir Norm und Spur so
> definiert:[mm]N(\alpha)=\produkt_{\sigma}{\sigma(\alpha)}[/mm] und
> [mm]Tr(\alpha)=\sum_{\sigma}{\sigma(\alpha)}[/mm]
> für ein [mm]\alpha \in L[/mm]. Ich sehe jetzt noch nicht ein,
> warum [mm]N(\alpha)\in K[/mm] und [mm]Tr(\alpha)\in K[/mm] gilt. Die [mm]\sigma[/mm]
> stammen doch aus der Galoisgruppe und bilden von L nach L
> ab? Oder sehe ich das falsch. Das [mm]\alpha[/mm] ist ja i.A. auch
> keine Nullstelle.
>
> konkrete Frage: Warum liegen die Werte der Norm und der
> Spur bei einer Galoiserweiterung L/K in K?
Du musst benutzen: fuer $x [mm] \in [/mm] L$ gilt
$x [mm] \in [/mm] K [mm] \Leftrightarrow \forall \sigma \in [/mm] Gal(L/K) : [mm] \sigma(x) [/mm] = x$
Du musst also zeigen, dass Spur und Norm von allen Automorphismen in $Gal(L/K)$ festgehalten wird. Daraus folgt, dass sie in $K$ liegen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 30.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Moin!
>
> > wenn ich eine Körpererweiterung L/K habe, die galois ist,
> > dann hatten wir Norm und Spur so
> > definiert:[mm]N(\alpha)=\produkt_{\sigma}{\sigma(\alpha)}[/mm] und
> > [mm]Tr(\alpha)=\sum_{\sigma}{\sigma(\alpha)}[/mm]
> > für ein [mm]\alpha \in L[/mm]. Ich sehe jetzt noch nicht ein,
> > warum [mm]N(\alpha)\in K[/mm] und [mm]Tr(\alpha)\in K[/mm] gilt. Die [mm]\sigma[/mm]
> > stammen doch aus der Galoisgruppe und bilden von L nach L
> > ab? Oder sehe ich das falsch. Das [mm]\alpha[/mm] ist ja i.A. auch
> > keine Nullstelle.
> >
> > konkrete Frage: Warum liegen die Werte der Norm und der
> > Spur bei einer Galoiserweiterung L/K in K?
>
> Du musst benutzen: fuer [mm]x \in L[/mm] gilt
>
> [mm]x \in K \Leftrightarrow \forall \sigma \in Gal(L/K) : \sigma(x) = x[/mm]
Das scheint mir logisch, da [mm] $\sigma |_{K}=id$
[/mm]
>
> Du musst also zeigen, dass Spur und Norm von allen
> Automorphismen in [mm]Gal(L/K)[/mm] festgehalten wird. Daraus folgt,
> dass sie in [mm]K[/mm] liegen.
Das ist ja genau der Knackpunkt, den ich nicht sehe. Soll ich etwa mir eine Norm [mm] $n:=N(\alpha)$ [/mm] nehmen und darauf die ganzen [mm] $\simga$ [/mm] loslassen und zeigen, dass [mm] $\sigma_i(n)=n$ [/mm] gilt?
Kann man i.A. eigentliche solche Aussagen darüber treffen. Für [mm] $\IC/\IR$ [/mm] ist ja [mm] $N(z)=a^2+b^2$, [/mm] jetzt müsste mit [mm] $\tau [/mm] (a+ib)=a-ib$ ja gelten: [mm] $id(\tau(N(z)))=N(z)$.
[/mm]
Was mache ich überhaupt, die Galoisgruppe nicht abelsch ist?
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 30.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > wenn ich eine Körpererweiterung L/K habe, die galois ist,
> > > dann hatten wir Norm und Spur so
> > > definiert:[mm]N(\alpha)=\produkt_{\sigma}{\sigma(\alpha)}[/mm] und
> > > [mm]Tr(\alpha)=\sum_{\sigma}{\sigma(\alpha)}[/mm]
> > > für ein [mm]\alpha \in L[/mm]. Ich sehe jetzt noch nicht
> ein,
> > > warum [mm]N(\alpha)\in K[/mm] und [mm]Tr(\alpha)\in K[/mm] gilt. Die [mm]\sigma[/mm]
> > > stammen doch aus der Galoisgruppe und bilden von L nach L
> > > ab? Oder sehe ich das falsch. Das [mm]\alpha[/mm] ist ja i.A. auch
> > > keine Nullstelle.
> > >
> > > konkrete Frage: Warum liegen die Werte der Norm und der
> > > Spur bei einer Galoiserweiterung L/K in K?
> >
> > Du musst benutzen: fuer [mm]x \in L[/mm] gilt
> >
> > [mm]x \in K \Leftrightarrow \forall \sigma \in Gal(L/K) : \sigma(x) = x[/mm]
>
> Das scheint mir logisch, da [mm]\sigma |_{K}=id[/mm]
> >
> > Du musst also zeigen, dass Spur und Norm von allen
> > Automorphismen in [mm]Gal(L/K)[/mm] festgehalten wird. Daraus folgt,
> > dass sie in [mm]K[/mm] liegen.
>
> Das ist ja genau der Knackpunkt, den ich nicht sehe. Soll
> ich etwa mir eine Norm [mm]n:=N(\alpha)[/mm] nehmen und darauf die
> ganzen [mm]\simga[/mm] loslassen und zeigen, dass [mm]\sigma_i(n)=n[/mm]
> gilt?
Ja.
> Kann man i.A. eigentliche solche Aussagen darüber
> treffen. Für [mm]\IC/\IR[/mm] ist ja [mm]N(z)=a^2+b^2[/mm], jetzt müsste
> mit [mm]\tau (a+ib)=a-ib[/mm] ja gelten: [mm]id(\tau(N(z)))=N(z)[/mm].
Es ist ja $N(a + i b) = (a + i b) (a - i b)$, und somit $N(a - i b) = (a - i b) (a + i b) = N(a + i b)$. Damit wird $N(a + i b)$ von der Galoisgruppe festgehalten und liegt somit in [mm] $\IR$.
[/mm]
> Was mache ich überhaupt, die Galoisgruppe nicht abelsch
> ist?
Das ist voellig egal.
Du hast doch $n = [mm] \prod_{\sigma \in Gal(L/K)} \sigma(\alpha)$.
[/mm]
Ist [mm] $\tau \in [/mm] Gal(L/K)$, so ist [mm] $\tau(n) [/mm] = [mm] \prod_{\sigma \in Gal(L/K)} \tau\sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \prod_{\sigma' \in \tau Gal(L/K)} \sigma'(\alpha)$. [/mm] Jetzt musst du also [mm] $\tau [/mm] Gal(L/K) := [mm] \{ \tau \circ \sigma \mid \sigma \in Gal(L/K) \} [/mm] = Gal(L/K)$ zeigen.
LG Felix
|
|
|
|
