Norm, stetige Funkt, Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 10.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei f [mm] \in [/mm] R[a,b] und sei [mm] ||f||_p:=(\int_a^b |f(x)|^p dx)^{\frac{1}{p}} [/mm] mit [mm] 1\le [/mm] p [mm] <\infty.
[/mm]
Mich interessiert warum für stetige Funktionen f aus [mm] ||f||_p=0 [/mm] folgt f=0 aber nicht unbedingt für unstetige Funktionen. |
Hallo,
Für den Fall 1) f ist stetig:
Ang. f ist nicht die Nullfunktion aber [mm] ||f||_p=0
[/mm]
D.h. [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b]: [mm] f(x_0)=d\not=0 \Rightarrow |f(x_0)|=|d|>0
[/mm]
Sei [mm] \epsilon:=\frac{|d|}{2}
[/mm]
Aus Stetigkeit: [mm] \exists \delta>0: |f(x_0)-f(x)|<\epsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] mit [mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f(x_0)|-|f(x)| [/mm] < [mm] \frac{|d|}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f(x_0) [/mm] > [mm] \frac{|f(x_0)|}{2} [/mm] >0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] mit [mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
Daraus folgt [mm] \int_{x-\delta}^{x+\delta} |f(y)|^p [/mm] dy > [mm] \int_{x-\delta}^{x+\delta}\frac{|f(x_0)|}{2}^p [/mm] dy = 2 [mm] \delta \frac{|f(x_0)|^p}{2^p}>0
[/mm]
Nun muss ich das ganze auf die Grenzen a,b im Integral ausweiten:
[mm] \int_a^b |f(y)|^p [/mm] dy = [mm] \int_a^{x-\delta} |f(y)|^p [/mm] dy + [mm] \int_{x-\delta}^{x+\delta} |f(y)|^p [/mm] dy + [mm] \int_{x+\delta}^{b} |f(y)|^p [/mm] dy
Da das linke und rechte Integral größergleich 0 sind(da der Integrand größergleich 0 ist), folgt [mm] ||f||_p\not=0
[/mm]
Bei Fall 2), suche ich eine Riemannintegrierbare Funktion g mit
[mm] ||g||_p=0 [/mm] aber [mm] g\not=0
[/mm]
Ich dachte an die [mm] Funktion:g:[5,-5]\to \mathbb{R} [/mm] mit [mm] g(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Da die Funktion endlich viele Unstetigkeitsstellen hat(nämlich eine bei 0) ist die Funktion Riemannintegrierbar.
[mm] ||g||_p= (\int_{-5}^5 |g(x)|^p dx)^{\frac{1}{p}}
[/mm]
Das Unterintegral: [mm] sup\{\int_{-5}^{5} \phi(x)dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le g^p \} [/mm] =0.
Daraus folgt [mm] ||g||_p=0
[/mm]
Passt das so?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Di 10.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Sei f [mm]\in[/mm] R[a,b] und sei [mm]||f||_p:=(\int_a^b |f(x)|^p dx)^{\frac{1}{p}}[/mm]
> mit [mm]1\le[/mm] p [mm]<\infty.[/mm]
> Mich interessiert warum für stetige Funktionen f aus
> [mm]||f||_p[/mm]
Du meinst, es soll [mm] $\|f\|_p=0$ [/mm] gelten, oder?
> folgt f=0 aber nicht unbedingt für unstetige
> Funktionen.
> Hallo,
>
> Für den Fall 1) f ist stetig:
> Ang. f ist nicht die Nullfunktion aber [mm]||f||_p=0[/mm]
> D.h. [mm]\exists x_0 \in[/mm] [a,b]: [mm]f(x_0)=d\not=0 \Rightarrow |f(x_0)|=|d|>0[/mm]
>
> Sei [mm]\epsilon:=\frac{|d|}{2}[/mm]
> Aus Stetigkeit: [mm]\exists \delta>0: |f(x_0)-f(x)|<\epsilon[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] [a,b] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f(x_0)|-|f(x)|[/mm] < [mm]\frac{|d|}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f(x_0)[/mm] > [mm]\frac{|f(x_0)|}{2}[/mm] >0 für alle x
Links steht einfach [mm] $|f(x)|\,$. [/mm] Überlege Dir, dass dann auf der [mm] $\delta$-Umgebung
[/mm]
auch [mm] $f\,$ [/mm] immer das gleiche Vorzeichen haben muss (Zwischenwertsatz;
beachte, dass [mm] $f\,$ [/mm] dort keine Nullstelle haben kann!).
> [mm]\in[/mm] [a,b] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]\int_{x-\delta}^{x+\delta} |f(y)|^p[/mm] dy
Da steht nun kleiner Unsinn. Du kannst
[mm] $\int_{[a,b]}|f(y)|^p [/mm] dy$ [mm] $\ge$ $\int_{\red{x_0}-\delta}^{\red{x_0}+\delta}|f(y)|^pdy \ge 2\delta*(|f(x_0)|/2)^p$
[/mm]
schreiben. Das ist sicher auch das, was Du meinst!
> > [mm]\int_{x-\delta}^{x+\delta}\frac{|f(x_0)|}{2}^p[/mm] dy = 2 [mm]\delta \frac{|f(x_0)|^p}{2^p}>0[/mm]
>
> Nun muss ich das ganze auf die Grenzen a,b im Integral
> ausweiten:
> [mm]\int_a^b |f(y)|^p[/mm] dy = [mm]\int_a^{x-\delta} |f(y)|^p[/mm] dy + [mm]\int_{x-\delta}^{x+\delta} |f(y)|^p[/mm] dy + [mm]\int_{x+\delta}^{b} |f(y)|^p[/mm] dy
> Da das linke und rechte Integral größergleich 0 sind(da
> der Integrand größergleich 0 ist), folgt [mm]||f||_p\not=0[/mm]
Geht auch. Ich würde da aber zur Sicherheit sagen, dass o.E. [mm] $\delta [/mm] > 0$ zudem so
klein sein soll, dass [mm] $(x_0-\delta,\;x_0+\delta) \subseteq [/mm] [a,b]$ gilt. Das ist aber vielleicht auch gar
nicht nötig...
Du hast also nur formal ein paar kleine Schnitzer (entweder kleine Fehler
beim Überlegen, oder auch nur reine Vertipper) drin. Aber der Grundgedanke
des Beweises ist absolut in Ordnung:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] nicht durchweg 0 und stetig ist, gibt es eine Stelle [mm] $x_0$, [/mm] an der [mm] $f\,$ [/mm] halt
nicht Null ist [mm] ($f(x_0) \neq [/mm] 0$). Um diese *ziehe* ich eine Umgebung, wo $|f|$ mindestens
stets die Hälfte dieses Funktionswertes [mm] ($|f(x_0)|$) [/mm] hat (das geht wegen der Stetigkeit dort).
Das betrachtete Integral nur auf dieser Umgebung (von [mm] $|f|^p$) [/mm] ist aber schon
positiv, wenn ich [mm] $|f|^p$ [/mm] auf $[a,b]$ integriere, kommt aber nichts kleineres
raus. Also muss [mm] $(\|f\|_p)^p [/mm] > 0$ sein und damit auch [mm] $\|f\|_p [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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Hiho,
dein Gegenbeispiel ist in Ordnung, einzig die Schreibweise:
> Ich dachte an die [mm]Funktion:g:[5,-5]\to \mathbb{R}[/mm]
Seit wann schreibt man bei Intervallen die Obergrenze zu erst und dann die Untergrenze?
Gruß,
Gono
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