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| Aufgabe | | Sei $p [mm] \in [/mm] ]0, 1[$. Wird durch [mm] $||\cdot||_*$ [/mm] mit $||(x,y)||_* := [mm] (|x|^p [/mm] + [mm] |y|^p)^{\frac{1}{p}}$ [/mm] eine Norm auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] definiert? |
Hallo,
hier stehe ich komplett auf dem Schlauch, und zwar wieder was die Dreiecksungleichung angeht. Zeige, dass gilt
[mm] $\wurzel[p]{(|v+x|^p + |w+y|^p)} \le \wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)}$
[/mm]
Jetzt fällt mir natürlich noch ein, dass ich das noch in die p-te Potenz setzen ...
[mm] (|v+x|^p [/mm] + [mm] |w+y|^p) \le (\wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)})^p$
[/mm]
... und davon $ln$ "ziehen" kann ...
[mm] ln((|v+x|^p [/mm] + [mm] |w+y|^p)) \le [/mm] p ln [mm] (\wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)})$
[/mm]
...aber ich sehe leider nicht, wie mich das weiterbringt.
Wäre für Lösungsansätze sehr dankbar!
VG,
Martin
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Hiho,
das wirst du so nicht hinbekommen… ihr hattet bestimmt entweder die Minkowski-Ungleichung oder die Hölder-Ungleichung.
Nachschlagen, antworten, dann sehen wir weiter…
Gruß,
Gono
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> Hiho,
>
> das wirst du so nicht hinbekommen… ihr hattet bestimmt
> entweder die Minkowski-Ungleichung oder die
> Hölder-Ungleichung.
Ja, die Minkowskische Ungleichung steht mitsamt Beweis in meinem Skript:
[mm] $\sqrt{\summe_{k=1}^{n} (x_k + y_k)^2 } \le \sqrt{\summe_{k=1}^{n} x_k^2} [/mm] + [mm] \sqrt{\summe_{k=1}^{n} y_k^2}$
[/mm]
Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?
Danke und Gruß,
Martin
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Hiho,
> Ja, die Minkowskische Ungleichung steht mitsamt Beweis in meinem Skript:
>
> [mm]\sqrt{\summe_{k=1}^{n} (x_k + y_k)^2 } \le \sqrt{\summe_{k=1}^{n} x_k^2} + \sqrt{\summe_{k=1}^{n} y_k^2}[/mm]
Das ist nur der Fall $p=2$.
Die Minkowski-Ungleichung stimmt aber für alle $p [mm] \ge [/mm] 1$ und entspricht damit der von dir gesuchten Dreiecksungleichung.
> Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?
Na dann versuch den Beweis doch mal zu verallgemeinern für beliebiges $p [mm] \ge [/mm] 1$
Gruß,
Gono
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Hallo,
> Die Minkowski-Ungleichung stimmt aber für alle [mm]p \ge 1[/mm]
> und entspricht damit der von dir gesuchten
> Dreiecksungleichung.
>
> > Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?
> Na dann versuch den Beweis doch mal zu verallgemeinern
> für beliebiges [mm]p \ge 1[/mm]
Kann es sein, dass du mich versehentlich aufs falsche Gleis setzt? Wieso entspricht die Minkowskische Ungleichung der von mir gesuchten Dreiecksungleichung, wenn sie für alle [mm]p \ge 1[/mm] gilt, aber in der Aufgabenstellung steht: [mm]p \in ]0,1[[/mm]?
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Hiho,
> Kann es sein, dass du mich versehentlich aufs falsche Gleis
> setzt? Wieso entspricht die Minkowskische Ungleichung der
> von mir gesuchten Dreiecksungleichung, wenn sie für alle [mm]p \ge 1[/mm]
> gilt, aber in der Aufgabenstellung steht: [mm]p \in ]0,1[[/mm]?
Gut aufgepasst! (und von mir tatsächlich übersehen, dass [mm]p \in ]0,1[[/mm] )
Die Minkowski-Ungleichung gilt nur für [mm] $p\ge [/mm] 1$ und daher ist [mm] $||x||_p$ [/mm] für [mm]p \in ]0,1[[/mm] tatsächlich keine Norm.
Heißt für dich aber einfach: Finde [mm]p \in ]0,1[[/mm] und x,y so dass $||x + [mm] y||_p [/mm] > [mm] ||x||_p [/mm] + [mm] ||y||_p$ [/mm] und du bist fertig.
Gruß,
Gono
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