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| Aufgabe | Es sei ||.|| eine beliebige Norm auf dem [mm] \IR^{n}. [/mm] Zeigen Sie:
a.) [mm] \vmat{ ||x|| - ||y|| } \le [/mm] ||x-y|| für alle x,y [mm] \in \IR^{n}. [/mm]
b.) ||x+y|| + ||x-y|| [mm] \ge [/mm] ||x||+||y|| für alle x,y [mm] \in \IR^{n}. [/mm] |
bei c.) kenn ich nur die Dreicksungelichung b ei Normen, also
||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x||+ ||y|| , aber da ist ja das ungleichheitszeichen genau falsch rum. dann habe ich probiert das so zu rechnen:
||x-y||= ||-y+x||, also ||x+y||+||x-y||= ||x+y||+||-y+x|| [mm] \ge [/mm] ||x+y-y+x|| = ||2x|| bringt mich also auch nicht wirklich weiter.
Könnte mir zu dieser Aufgabe vielleicht jemand einen HInweis geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Mi 15.11.2006 | | Autor: | ullim |
> Es sei ||.|| eine beliebige Norm auf dem [mm]\IR^{n}.[/mm] Zeigen
> Sie:
> a.) [mm]\vmat{ ||x|| - ||y|| } \le[/mm] ||x-y|| für alle x,y [mm]\in \IR^{n}.[/mm]
Hier kann man wie folgt argumentieren
[mm] |x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y| [/mm] also
[mm] |x|-|y|\le|x-y|, [/mm] das Gleiche gilt auch wenn man x und y vertauscht und daraus die Behauptung
> b.) ||x+y|| + ||x-y|| [mm]\ge[/mm] ||x||+||y|| für alle x,y [mm]\in \IR^{n}.[/mm]
Wegen [mm] |x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2 [/mm] und daraus folgt die Behauptung
> bei c.) kenn ich nur die Dreicksungelichung b ei Normen,
> also
> ||x+y|| [mm]\le[/mm] ||x||+ ||y|| , aber da ist ja das
> ungleichheitszeichen genau falsch rum. dann habe ich
> probiert das so zu rechnen:
> ||x-y||= ||-y+x||, also ||x+y||+||x-y||= ||x+y||+||-y+x||
> [mm]\ge[/mm] ||x+y-y+x|| = ||2x|| bringt mich also auch nicht
> wirklich weiter.
> Könnte mir zu dieser Aufgabe vielleicht jemand einen
> HInweis geben?
>
mfg ullim
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