Norm auf \IR^n < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \IR^n [/mm] definiert man:
[mm] ||x||_1 [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} |x_j|, ||x||_(\infty) [/mm] = max_(1 [mm] \le [/mm] h [mm] \le [/mm] n) [mm] |x_j|.
[/mm]
a) Zeigen sie , dass [mm] ||.||_1 [/mm] und [mm] ||.||_(\infty) [/mm] jeweils eine Norm auf [mm] \IR^n [/mm] definiert.
b) skizzieren sie jeweils die Einheitskugel in [mm] \IR^2 [/mm] bzgl. der Norm [mm] ||.||_1 [/mm] und [mm] ||.||_(\infty). [/mm] |
Hey,
wiedereinmal versteh ich nur Bahnhof :D
Weiß jemand wie das mit den 2 Strichen heißt damit ich das irgendwo nachlesen kann oder hat irgendjemand generell n Rat dazu?!
Vielen Dank
Phil
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Hiho,
> wiedereinmal versteh ich nur Bahnhof :D
ob das nen :D wert ist, wag ich zu bezweifeln.
> Weiß jemand wie das mit den 2 Strichen heißt damit ich
> das irgendwo nachlesen kann oder hat irgendjemand generell
> n Rat dazu?!
Wie in der Aufgabe angegeben, heisst das "mit den 2 Strichen" Norm.
Das hattet ihr garantiert in der Vorlesung.
Um also nachzuprüfen, ob
[mm] $||x||_1 [/mm] := [mm] \summe_{j=1}^n |x_j|$ [/mm] und
[mm] $||x||_\infty [/mm] := [mm] \max_{1\le j \le n} |x_j|$
[/mm]
Normen sind, musst du die Eigenschaften einer Norm nachprüfen.
Welche Eigenschaften sind das?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
Es fasziniert mich immer wieder, wie ich sachen eigentlich weis, aber dadurch dass sie nicht mehr so heißen wie in der Schule sondern irgendwelchen anderen Wörter, sagen sie mir nichts mehr.
Jedenfalls hab ich rausgefunden, dass ||x|| die Länge eines Vektors darstellen soll, aber was bedeutet dann |x| einfach nur der Betrag ?!
Außerdem, dass Norm ein Untervektorraum ist?!
Für den eben gilt, dass:
||x|| > 0
||kx|| = |k| ||x||
||a+b|| [mm] \le [/mm] ||a|| + ||b||
Also eigentlich muss ich sagen, dass wenn das gilt, dann erfüllt es die Norm?!
Aber was ich nicht ganz versteh ist [mm] ||x||_1 [/mm] bzw [mm] ||x||_(\infty) [/mm] was da die 1 bzw. [mm] \infty [/mm] bedeuten soll, Das ist doch im Grunde [mm] Länge_1 [/mm] bzw. [mm] Länge_(\infty) [/mm] Was meinen die damit?!
Gruß Phil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man kann in einem Raum verschiedene Normen haben, im [mm] \IR^3 [/mm] bist du die euklidische Norm gewohnt, die die euklidische Länge einer strecke angibt und damit die anschäuliche "Länge" eines Vektors.
Nun kann man versuchen auch andere Normen zu haben: dann hat der Raum eine andere "Metrik" Dafür habt ihr gelernt, welche Bedingungen eine Norm erfüllen muss.
deine 1. Forderung ist so falsch (die 2 anderen richtig) ,richtig ist
||x|| [mm] \ge [/mm] 0 und aus ||x|| = 0 <=> x=0
es ist kein UVR sondern eine Abbildung in die reellen Zahlen.
verschiedene Normen kann man nicht alle mit ||..|| bezichnen, deshalb haben sie einen "Index" d.h. [mm] ||...||_1 [/mm] ist durch die gegebenen Formel definiert und heisst Summennorm oder 1-Norm ,
[mm] ||..||_{\infty} [/mm] heisst Maximumnorm
dadurch, dass sie schon Namen haben, kannst du ahnen, dass es wirklich Normen sind und du das nur noch beweisen musst! indem du die 3 Axiome nachweisst.
(in diesem Zusammenhang ist der einfache Betragsstrich der übliche Betrag für reeelle Zahlen.)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
Nun fange ich wieder an mit der Aufgabe...
Die Positivität ist ja eigentlich trivial, da es bei [mm] ||x||_1 [/mm] eine Summe aus |x| ist und dies niemals negativ werden kann. Aber dann wirds schon wieder schwieriger, wie weist man richtig nach, dass ||ax|| = |a| ||x|| sowie die Dreiecksungleichung bei Normen?! :/
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 20.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie wärs mit Einsetzen der Definitionen der Normen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hi,
Definitheit:
|x| = 0 => x = 0
[mm] |x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] ... = 0 => x = 0 stimmt also.
Homogenität:
||a*x|| = |a|*||x||
[mm] |a*x_1| [/mm] + [mm] |a*x_2| [/mm] + ... = [mm] |a|*|x_1| [/mm] + [mm] |a|*|x_2| [/mm] + ... = |a| * [mm] (|x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] + .... ) = |a|*||x||
Gilt das so?
Dreiecksungleichung:
||x + y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
[mm] |x_1+y_2| [/mm] + [mm] |x_2+y_2| [/mm] .... [mm] \le |x_1| [/mm] + [mm] |y_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] + [mm] |y_2| [/mm] ..... => ||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
Gilt das so?
Könntest du mir nochmal kurz erklären was mit dem max [mm] |x_j| [/mm] gemeint ist?
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Sa 21.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, alles richtig, aber genauer schreuben.
als Bsp
Zu zeigen [mm] ||a*x||_1=...
[/mm]
Definition eingesetzt: in linke Seite...
in rechte Seite....
beide sind gleich qed
ausserdem solltest du gesetze ,die du verwendest nennen
in der Dreiecksungl etwa wegen [mm] |x1+x2|\le [/mm] |x1|+|x2/ für reelle Zahlen gilt ..
[mm] max|x_j| [/mm] ist die größte Betrag, den eine komponente haben kann
x=(1,3,2) [mm] max|x_j|=|x2|=3
[/mm]
x=(2,2,2) [mm] max|x_j|=2
[/mm]
klar?
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