Norm, Skalarprodukt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 24.04.2010 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch die [mm] L^2-Norm [/mm] genannte Abbildung
C([a,b], [mm] \IR) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , f -> [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] _2= [mm] \wurzel{\integral_{a}^{b}{|f(x)|^2 dx} } [/mm] eine Norm auf C([a,b], [mm] \IR [/mm] ) gegeben ist. (Hinweis: Stellen die die [mm] L^2 [/mm] -Norm als geeignetes Skalarprodukt dar.) |
So ich hab mir das jetzt folgendermaßen gedacht:
Wir haben in der Vorlesung schonmal gezeigt, dass wenn h ein Skalarprodukt ist, dann ist [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel=\wurzel{h(u,u) } [/mm] eine Norm. Ich müsste doch dann nur zeigen, dass h(u,v)= [mm] \integral_{a}^{b}{u(x)v(x) dx} [/mm] ein Skalarprodukt ist oder? Dann wäre ja [mm] h(f,f)=\integral_{a}^{b}{f(x)f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} [/mm] genau das was unter der Wurzel stehen muss. Die Betragsstriche kann ich doch weglassen oder? Weil es ja eh quadriert wird?
Wenn der Ansatz so stimmt, dann wüsste ich schonmal was ich machen muss.
Kann mir das jemand bestätigen?
Vielen Dank schonmal.
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass durch die [mm]L^2-Norm[/mm] genannte Abbildung
> C([a,b], [mm]\IR)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , f -> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] _2=
> [mm]\wurzel{\integral_{a}^{b}{|f(x)|^2 dx} }[/mm] eine Norm auf
> C([a,b], [mm]\IR[/mm] ) gegeben ist. (Hinweis: Stellen die die [mm]L^2[/mm]
> -Norm als geeignetes Skalarprodukt dar.)
> So ich hab mir das jetzt folgendermaßen gedacht:
> Wir haben in der Vorlesung schonmal gezeigt, dass wenn h
> ein Skalarprodukt ist, dann ist [mm]\parallel[/mm] u
> [mm]\parallel=\wurzel{h(u,u) }[/mm] eine Norm. Ich müsste doch dann
> nur zeigen, dass h(u,v)= [mm]\integral_{a}^{b}{u(x)v(x) dx}[/mm] ein
> Skalarprodukt ist oder? Dann wäre ja
> [mm]h(f,f)=\integral_{a}^{b}{f(x)f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}[/mm]
> genau das was unter der Wurzel stehen muss. Die
> Betragsstriche kann ich doch weglassen oder? Weil es ja eh
> quadriert wird?
> Wenn der Ansatz so stimmt, dann wüsste ich schonmal was
> ich machen muss.
> Kann mir das jemand bestätigen?
Ja, Dein Ansatz stimmt
FRED
>
> Vielen Dank schonmal.
> Liebe Grüße
|
|
|
|
