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Noch eine DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

Aufgabe
y' = 1 - [mm] y^2 [/mm]

Anfangswert: y(0) = 0

Ich habe hier so angefangen:

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = 1 - [mm] y^2 [/mm]

[mm] \integral\bruch{1}{1-y^2} [/mm] = [mm] \integral [/mm] dx

[mm] ln|1-y^2| [/mm] = x + c

Passt des so?

Aber wie mach ich hier weiter?

        
Bezug
Noch eine DGL: Partialbruchzerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Do 19.11.2009
Autor: Loddar

Hallo Andi!


Nein, das passt nicht, da Du auf der linken Seite falsch integriert hast.

Nehme für den Bruch eine Partialbruchzerlegung vor:

[mm] $$\bruch{1}{1-y^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(1-y)*(1+y)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{1-y}+\bruch{B}{1+y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{B}{y+1}-\bruch{A}{y-1}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Noch eine DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

Aha ok, Partialbruchzerlegung! :-(

Des heisst:

1 = [mm] \bruch{A}{1-y} [/mm] + [mm] \bruch{B}{1+y} [/mm]

1 = A (1+y) + B * (1-y)

y:1 =  1 = A ( 1 + 1) + 0

A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

y:0 = 1 = B (-1-1) + 0

B = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]

Das heisst, wenn ich das jetzt dann integriere kommt folgendes raus, oder nicht?

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |1-y| - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |1+y| = x

??

Bezug
                        
Bezug
Noch eine DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Do 19.11.2009
Autor: schachuzipus

Hallo andi7987,

> Aha ok, Partialbruchzerlegung! :-(
>  
> Des heisst:
>  
> 1 = [mm]\bruch{A}{1-y}[/mm] + [mm]\bruch{B}{1+y}[/mm]
>  
> 1 = A (1+y) + B * (1-y)
>  
> y:1 =  1 = A ( 1 + 1) + 0
>  
> A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [ok]
>  
> y:0 = 1 = B (-1-1) + 0
>  
> B = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] [ok]
>  
> Das heisst, wenn ich das jetzt dann integriere kommt
> folgendes raus, oder nicht?
>  
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |1-y| - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |1+y| = x

Fast, da steckt ein VZF drin, beachte die innere Ableitung von [mm] $\frac{1}{1-y}$! [/mm]

Außerdem fehlt rechterhand die Integrationskonstante:

Richtig: [mm] $\frac{1}{2}\ln(|1+y|)\red{+}\frac{1}{2}\ln(|1-y|) [/mm] \ = \ x \ [mm] \red{+ \ C}$ [/mm]

>  
> ??

LG

schachuzipus

Bezug
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