Niveaulinien und -flächen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mi 11.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Man skizziere die Niveaulinien bzw. -flächen für folgende Funktionen:
a) f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x,y) = [mm] 10-x^2-y^2
[/mm]
b) f: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x,y,z) = [mm] x+y+\bruch{z}{2} [/mm] |
Hi!
Eine kurze Frage zu den Aufgaben und zu Niveaulinien allgemein:
wir haben Niveaulinien in der Vorlesung folgend definiert:
[mm] {(x,y)\inD : f(x,y) = c\in\IR} [/mm] wobei ich die Konstante c selbst wählen muss
wenn ich nun bei a) c=0 nehme, dann komme ich durch Umformung auf die Gleichung 10 = [mm] x^2+y^2 [/mm] was ja einem Kreis mit dem Radius [mm] \wurzel{10} [/mm] entspricht, oder?
was ist jetzt aber, wenn c=20 oder c=11??
Für [mm] c\in[0,10] [/mm] bekomme ich ja immer Kreise mit verschiedenen Radien!
Aber wie schaut die Niveaulinie beispielsweise bei c=11 aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 11.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
okay!
Danke schonmal für die Hilfe ;)
gibt es eine Begründung dafür, wenn ich noch blöd fragen darf?? ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo dodo!
Mit [mm] $x^2+y^2$ [/mm] werden zwei nicht-negative Terme addiert, so dass das Resultat stets [mm] $\ge [/mm] \ 0$ ist.
Daher muss also auch gelten: $10-c \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 11.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
oh mann!
eigentlich klar, manchmal sieht man wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht :)
und wie muss ich nun bei b) vorgehen?
hier suche ich ja nicht nach einer Linie, sondern nach einer Fläche!
ich vermute mal, dass ich auch hier wieder die Gleichung mit einer Konstante c gleichsetzen muss!
Aber wie gehe ich weiter vor??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 11.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> oh mann!
> eigentlich klar, manchmal sieht man wohl den Wald vor
> lauter Bäumen nicht :)
>
> und wie muss ich nun bei b) vorgehen?
> hier suche ich ja nicht nach einer Linie, sondern nach
> einer Fläche!
> ich vermute mal, dass ich auch hier wieder die Gleichung
> mit einer Konstante c gleichsetzen muss!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie gehe ich weiter vor??
Die Menge aller Zahlen, die die Gleichung $f(x,y,z) = c$ erfüllen beschreiben eine Fläche. In der Schule nannte man das analytische Geometrie und diese spezielle Form der Ebenendarstellung: Koordinatenform.
Kannst Du damit was anfangen?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 11.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Leider nicht so wirklich! Bin HAK Absolvent und da wurde statt solchen Themen Rentenrechnung, Zinseszinsrechnung, Break-Even Analyse und sowas durchgenommen!
Aber ich hab mir jetzt mal ein Video angesehen und demnach müsste ich folgendes tun:
sei z.B. c=2 --> [mm] 2=1x+1y+\bruch{1}{2}z
[/mm]
die einzelnen Koordinaten, die die Ebene aufspannen, erhalte ich, wenn ich die anderen 0 setze, also
2=1x+0y+0z --> x=2
analog y = 2, z = 4
also sieht meine Eben so aus wie ein Dreieck, bei dem die Seiten xz und zy gleich lang sind und die seite xy etwas kürzer (wenn ihr euch das so vorstellen könnt^^)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mi 11.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Leider nicht so wirklich! Bin HAK Absolvent und da wurde
> statt solchen Themen Rentenrechnung, Zinseszinsrechnung,
> Break-Even Analyse und sowas durchgenommen!
>
> Aber ich hab mir jetzt mal ein Video angesehen und demnach
> müsste ich folgendes tun:
>
> sei z.B. c=2 --> [mm]2=1x+1y+\bruch{1}{2}z[/mm]
> die einzelnen Koordinaten, die die Ebene aufspannen,
Nein, Koordinaten spannen keine Ebene auf. Was du jetzt da stehen hast ist die implizite Form der Gleichung einer Ebene im dreidimensionalen euklidischen Raum.
Die wesentliche Erkenntnis dabei ist, dass es sich um eine lineare Gleichung handelt und diese somit eine Ebene darstellt.
> erhalte ich, wenn ich die anderen 0 setze, also
>
> 2=1x+0y+0z --> x=2
> analog y = 2, z = 4
>
> also sieht meine Eben so aus wie ein Dreieck, bei dem die
Nein! Du hast dir bloß eben drei spezielle Punkte deiner Ebene ermittelt und zwar jene, die auf den Koordinatenachsen liegen. Diese bestimmten in deinem Fall zwar die Ebene eindeutig, sind aber nicht die Ebene. Die Ebene ist ja unbegrenzt.
> Seiten xz und zy gleich lang sind und die seite xy etwas
> kürzer (wenn ihr euch das so vorstellen könnt^^)?
Kann ich, ja  Auch wenn mich deine Bezeichnung stört. Denn xz ist sicher keine Seite irgendeines Dreieck - damit kannst du bestenfalls die Kreuzrißebene benennen.
Mich irritiert in deiner Angabe die Forderung, die Niveauinien und -flächen zu skizieren.
Im ersten Beispiel hast du mit f(x,y) eine Fläche im [mm] $\/R^3$ [/mm] gegeben (konkret ein nach unten offenes Drehparaboloid mit dem Scheitel in (0/0/10)) und die Niveaulinien sind die Schnittlinien dieser Fläche mit Ebenen konstanter Höhe (wenn man die z-Richtung als Höhe interpretieren möchte). Da dieses Paraboloid im Scheitel seinen höchsten Punkt hat, gibts auch keine (reellen) Schnitte für c>10. Die Skizzierung der Niveaulinien würde nun streng genommen eine Grund-/Aufrißzeichnung des Paraboloids mit einigen ausgewählten Niveaulinien erfordern. Eventuell würde auch eine Schrägrißskizze ausreichen, wenngleich eine räumliche Situation mit einer Projektion alleine ja nicht eindeutig festgelegt ist. Vielleicht ist aber auch eine kotierte Projektion verlangt, so wie du das sicher von Landkarten her kennst. Die dort eingetragenen Schichtenlinien entsprechen ja genau den Niveaulineien der Landschaftsfläche und damit die Sache eindeutig wird, sind diese dann auch noch mit der jeweiligen Höhenangabe versehen. In deinem Fall würde das bedeuten, dass du die räumliche Situation auf die xy-Ebene normalprojizierst. Die Niveaulinien werden dann zu konzentrischen Kreise mit (0/0) als Mittelpunkt und müssten gegebenenfalls noch beschriftet werden (der Wert von c, der den jeweiligen Kreis bedingt).
Im zweiten Beispiel wirds mit der Anschauung noch komplizierter, da wir es bei den Niveauflächen hier mit dem Schnittgebilde einer Hyperfläche im [mm] $\R^4$ [/mm] mit parallelen Hyperebenen zu tun haben. Zum Glück handelt es sich um eine lineare Funktion und es handelt sich somit um das vierdimensionale Pendent von Schnitten einer allgemeinen Ebene mit z-parallelen Ebenen - nur eben um eine Dimension höher. Das Ergebnis sind eine Schar von Ebenen. Die Projektion dieser Ebenenschar in den [mm] $\/R^3$ [/mm] liefert eine Schar von zueinander parallelen Ebenen. Was nun konkret von dir beim Skizzieren erwartet wird, weiß ich nicht, aber ich könnte mir vorstellen, dass das Einzeichnen von ein bis zwei solcher Ebenen in einer Schrägrißskizze, repräsentiert durch jeweils ein Dreieck (und die Wahl deines Dreiecks ist gar keine schlechte), ausreichend sein könnte.
Gruß RMix
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