Nirgends dicht < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 01.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] $\mathbb{R}$ [/mm] lässt sich nicht als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben. |
Hallo,
ich würde gern obige Aufgabe bearbeiten.
[mm] $A\subset \mathbb{R}$ [/mm] ist genau dann nirgends dicht, wenn [mm] $\mathbb{R}\setminus [/mm] A$ eine dichte, offene Teilmenge besitzt.
Ich hatte gedacht, dass man es möglicherweise am besten mit einem Widerspruch macht, also annimmt die reellen Zahlen ließen sich als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben.
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> [mm]A\subset \mathbb{R}[/mm] ist genau dann nirgends dicht, wenn
> [mm]\mathbb{R}\setminus A[/mm] eine dichte, offene Teilmenge
> besitzt.
Ist das eure Definition oder bereits ein bewiesener Satz?
Im übrigen gehört das ins Topologie-Forum, oder?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Di 01.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Dies ist unsere Definition.
Die Aufgabe wurde uns ebenfalls in "Logik" vorgestellt, weshalb ich es mal in den Bereich der Mengenlehre gepackt habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:45 Mi 02.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
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> [mm]\mathbb{R}[/mm] lässt sich nicht als abzählbare Vereinigung
> nirgends dichter Mengen schreiben.
> Hallo,
>
> ich würde gern obige Aufgabe bearbeiten.
>
> [mm]A\subset \mathbb{R}[/mm] ist genau dann nirgends dicht, wenn
> [mm]\mathbb{R}\setminus A[/mm] eine dichte, offene Teilmenge
> besitzt.
>
> Ich hatte gedacht, dass man es möglicherweise am besten
> mit einem Widerspruch macht, also annimmt die reellen
> Zahlen ließen sich als abzählbare Vereinigung nirgends
> dichter Mengen schreiben.
Dann mach das doch ! Was hält Dich davon ab ? Es funktioniert, wenn man es richtig anstellt. Also losgehts ..
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 02.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Angenommen die reellen Zahlen lassen sich als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben. Dies müsste dann dicht und offen sein.
Sei [mm] $A_n$ [/mm] eine nirgends dichte Menge für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$, [/mm] dann sei:
[mm] $\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$, [/mm] da [mm] $A_n$ [/mm] nirgends dicht ist [mm] $\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$ [/mm] dicht und offen.
Also
[mm] $\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n=\bigcap_{n\in\mathbb{N}} (\mathbb{R}\setminus A_n)$
[/mm]
Zu vor haben wir bewiesen, dass der abzählbare Schnitt dichter offener Mengen wieder dicht ist. Damit ist [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] dicht, aber nicht offen.
Widerspruch.
Das wäre mein "Beweis".
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mi 02.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Angenommen die reellen Zahlen lassen sich als abzählbare
> Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben. Dies müsste
> dann dicht und offen sein.
Was ist "Dies" ?????
>
> Sei [mm]A_n[/mm] eine nirgends dichte Menge für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm], dann sei:
>
> [mm]\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n[/mm], da [mm]A_n[/mm] nirgends
> dicht ist [mm]\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n[/mm]
Hä ???? Es ist [mm]\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n= \emptyset[/mm] !!!!
> dicht und offen.
>
> Also
>
> [mm]\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n=\bigcap_{n\in\mathbb{N}} (\mathbb{R}\setminus A_n)[/mm]
>
> Zu vor haben wir bewiesen, dass der abzählbare Schnitt
> dichter offener Mengen wieder dicht ist. Damit ist
> [mm]\mathbb{R}[/mm] dicht, aber nicht offen.
> Widerspruch.
>
>
> Das wäre mein "Beweis".
Schön, nur ist es kein Beweis !
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:22 Mi 02.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Dies=die reellen Zahlen
Ist mein "Beweis" kompletter Murks?
Wie kann ich es besser machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mi 02.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Über weitere Anregungen würde ich mich sehr freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 04.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 02.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielleicht ist es doch besser wenn ich es direkt probiere.
Also ich muss ja zeigen, dass ich [mm] \mathbb{R} [/mm] nicht als Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellen kann. Und eine Menge heißt nirgends dicht, wenn [mm] \mathbb{R}\setminus [/mm] A dicht und offen ist.
Dann habe ich:
[mm] $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{R}\setminus A_n)=\mathbb{R}\setminus\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n$
[/mm]
Damit die Aussage richtig ist müsste also [mm] $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n=\emptyset$ [/mm] sein. Dies ist aber nicht der Fall, da [mm] A_n [/mm] dichte, offene Mengen sind, und deren abzählbarer Schnitt ebenfalls wieder dicht sein muss. Die leere Menge ist jedoch nicht dicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Do 03.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielleicht ist es doch besser wenn ich es direkt probiere.
>
> Also ich muss ja zeigen, dass ich [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht als
> Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellen kann. Und
> eine Menge heißt nirgends dicht, wenn [mm]\mathbb{R}\setminus[/mm]
> A dicht und offen ist.
>
> Dann habe ich:
>
> [mm]\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{R}\setminus A_n)=\mathbb{R}\setminus\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n[/mm]
Das stimmt doch nicht !
FRED
>
> Damit die Aussage richtig ist müsste also
> [mm]\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n=\emptyset[/mm] sein. Dies ist aber
> nicht der Fall, da [mm]A_n[/mm] dichte, offene Mengen sind, und
> deren abzählbarer Schnitt ebenfalls wieder dicht sein
> muss. Die leere Menge ist jedoch nicht dicht.
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Hallo,
Ich bitte mich zu korrigieren (falls FRED das lesen sollte), aber ich würde vorschlagen:
Nimm eine Folge abzählbarer nirgends dichter Mengen [mm] $(B_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] und setze
$ A = [mm] \bigcup_{n \in \mathbb{N}}B_{n}$ [/mm] , also eine abzählbare Vereinigung der Folge abzählbarer und nirgends dichter Mengen.
Nun könntest du Intervalle (nicht leere) so konstruieren, dass du damit zeigen kannst, dass
$ A - [mm] \mathbb{R}$ [/mm] dicht in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] liegt
daraus könntest du folgern, dass kein Intervall, dass mehr als einen Punkt enthält nicht mager ist - und damit auch nicht [mm] $\mathbb{R}$
[/mm]
Gruß Thomas
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