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| Aufgabe | | (Behauptung): Falls eine nxn Matrix A nilpotent ist, d.h. falls ein k mit [mm] A^k [/mm] = 0 existiert, so ist 0 der einige Eigenwert von A. |
Hallo zusammen,
zu zeigen ist: [mm] A^k [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 0 ist einziger Eigenwert.
Mein Vorschlag:
Annahme [mm] A^k [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow det(A^k [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{0}) [/mm] = 0.
Betrachte nur [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{0} [/mm] da [mm] A^k [/mm] = 0 nach Vorraussetzung.
Da [mm] E_{0}=0 [/mm] und [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{0} [/mm] = 0 folgt: det(0- [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{0}) [/mm] = 0 [mm] \forall \lambda \in \IR \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Behauptung.
Was meint ihr, richtig?
Viele Grüße
Semi
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Moin,
> (Behauptung): Falls eine nxn Matrix A nilpotent ist, d.h.
> falls ein k mit [mm]A^k[/mm] = 0 existiert, so ist 0 der einige
> Eigenwert von A.
> Hallo zusammen,
> zu zeigen ist: [mm]A^k[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] = 0 ist
> einziger Eigenwert.
>
> Mein Vorschlag:
> Annahme [mm]A^k[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow det(A^k[/mm] - [mm]\lambda[/mm] * [mm]E_{0})[/mm] = 0.
Diese Annahme hilft nicht viel, da du nach Voraussetzung dabei die Determinante der Nullmatrix berechnest. Das macht keine Aussage über die Eigenwerte von A!
Außerdem sollte E doch eher einer Einheitsmatrix sein, oder?
> Betrachte nur [mm]\lambda[/mm] * [mm]E_{0}[/mm] da [mm]A^k[/mm] = 0 nach
> Vorraussetzung.
> Da [mm]E_{0}=0[/mm] und [mm]\lambda[/mm] * [mm]E_{0}[/mm] = 0 folgt: det(0- [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]E_{0})[/mm] = 0 [mm]\forall \lambda \in \IR \Rightarrow[/mm] Widerspruch
> zur Behauptung.
>
> Was meint ihr, richtig?
Nein.
Versuch es doch mal mit Widerspruchsbeweis. Angenommen es existiert ein Eigenwert [mm] \lambda\neq0. [/mm] Dann sei [mm] v\neq0 [/mm] ein Eigenvektor zu [mm] \lambda. [/mm] Dann ist
[mm] $Av=\lambda [/mm] v$
[mm] $A(Av)=A(\lambda v)=\lambda^2 [/mm] v $
[mm] \vdots
[/mm]
Ziel in Sicht?
EDIT: Als zweites musst du zeigen, dass 0 ein Eigenwert ist, d.h. die Dimension des Kerns [mm] \geq1 [/mm] ist. Das sollte aber nicht schwer fallen.
Gruß
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