Nilpotente Endomorphismen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Di 17.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Sei V ein K-VR. Seien [mm] \alpha, \beta \in [/mm] End(V) 2 nilpotente Endomorphismen mit [mm] \alpha \circ \beta [/mm] = [mm] \beta \circ \alpha [/mm] . Zeigen Sie, dass dann [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] ebenfalls nipotent ist. |
Hallo,
Hab große Schwierigkeiten hier mal auf einen Ansatz zu kommen. Weiß vor allem nicht, was mir [mm] \alpha \circ \beta [/mm] = [mm] \beta \circ \alpha [/mm] nützen sollte?
Ich dachte, da [mm] \alpha, \beta [/mm] ja schon nilpotent sind, kann ich ein n [mm] \in \IN
[/mm]
finden, für das gilt [mm] \alpha^n [/mm] = [mm] \beta^n [/mm] = 0 und hätte gedacht, dass allein daher schon die Addition 2er nilpotenter Endomorphismen wieder nilpotent ist.
Komm leider hier nicht weiter, wäre um jede Hilfe eurerseits dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Di 17.11.2009 | | Autor: | Harris |
Wenn man die beiden Endomorphismen kommutieren kann, kannst du die allgemeine Binomische Formel, die da lautet
[mm] (A+B)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k} A^{n-k} B^{k}
[/mm]
benutzen.
Stell dir deine beiden Endomorphismen darin vor und überlege, was passiert bei einem ganz ganz großen n.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 17.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Wenn man die beiden Endomorphismen kommutieren kann, kannst
> du die allgemeine Binomische Formel, die da lautet
>
> [mm](A+B)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k} A^{n-k} B^{k}[/mm]
>
Sieht nach binomischem Lehrsatz aus
> benutzen.
>
> Stell dir deine beiden Endomorphismen darin vor und
> überlege, was passiert bei einem ganz ganz großen n.
Na je größer ich das n wähle umso mehr Summanden hab ich dann ja, die 0 sind... aber wieso sollten sich dann die restlichen Summanden zu 0 aufsummieren, das kann ich mir nicht vorstellen, wieso dem so sein sollte?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 17.11.2009 | | Autor: | Harris |
Na ja...
Wenn [mm] B^{m} [/mm] = 0 und [mm] A^{p}= [/mm] 0.
Wähle n = m+p
Dann ist ja [mm] \summe_{i=0}^{m+p} \vektor{m+p \\ i} A^{m+p-i} B^{i}
[/mm]
Der Binomialkoeffizient ist unerheblich für diese Aufgabe...
Denn solange i < m ist, ist m+p-i immer noch > p und somit [mm] A^{m+p-i} [/mm] immer gleich 0. Somit sind die ersten m-1 Summanden schonmal = 0.
Die restlichen Summanden fliegen raus, weil ja ab i = m dann [mm] B^{i} [/mm] immer = 0 wird.
Gruß
Harris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Di 17.11.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
da [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] Nilpotent sind gibt es Zahlen n und m für die gilt [mm] \alpha^n=0 [/mm] und [mm] \beta^m=0
[/mm]
Wenn Du k=n+m setzt berechne [mm] (\alpha+\beta)^k. [/mm] Die Anwendung der Binomische Formel ist ja durch die Kommutativtät von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] wie ja mein Vorgänger schon bemerkt hat gegeben.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Di 17.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Hi,
>
> da [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] Nilpotent sind gibt es Zahlen n und m
> für die gilt [mm]\alpha^n=0[/mm] und [mm]\beta^m=0[/mm]
>
> Wenn Du k=n+m setzt berechne [mm](\alpha+\beta)^k.[/mm]
Meinst du nicht eher k= n*m, denn [mm] (\alpha^n)^m=0=(\beta^m)^n
[/mm]
Die
> Anwendung der Binomische Formel ist ja durch die
> Kommutativtät von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] wie ja mein Vorgänger
> schon bemerkt hat gegeben.
>
> mfg ullim
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 17.11.2009 | | Autor: | Harris |
Nö... meint er nicht
Gruß
Harris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 17.11.2009 | | Autor: | ullim |
HI,
wie schon Harris geschrieben hat, meinte ich wirklich n+m.
[mm] (\alpha+\beta)^{n+m}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n+m \\ i}\alpha^i\beta^{n+m-i}+\summe_{i=n+1}^{n+m}\vektor{n+m \\ i}\alpha^i\beta^{n+m-i}
[/mm]
Der erste Term ist Null weil [mm] n+m-i\ge{m} [/mm] ist und somit [mm] \beta^{n+m-i}=0 [/mm] gilt.
Der zweite Term ist Null weil [mm] i\ge{n} [/mm] gilt und deshalb [mm] \alpha^i=0 [/mm] gilt.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 17.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank nochmal euch beiden, das war sehr hilfreich.
Viele Grüße
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