Nilpotente Endom. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 19.11.2014 | | Autor: | eva4eva |
Hallo,
ob eine Matrix nilpotent ist, kann man ja am charakt. Polynom p ablesen.
nxn-Matrix A nilpotent <=> [mm] p=X^n
[/mm]
Folgt daraus, dass p eine n-fache Nullstelle haben muss? Oder einfach nur, dass grad(p)=n ?
Und wie sieht das für Endomorphismen aus?
f:V->V
f ist nilpotent <=> grad(p)=dim(V) ?
Kann man das so formulieren oder ist das etwas völlig anderes als
f ist nilpotent und hat eine nxn-Abb.matrix M(f) <=> [mm] p=X^n
[/mm]
Weitere Frage:
Hier steht unter Lemma 3.3 (a)
http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS07/LinAlg2/LAII_SS07.pdf
:
Sei A∈K^nxn obere Dreiecksmatrix, so ist A
nilpotent genau dann, wenn
alle Diagonalelemente 0 sind.
Stimmt das GENAU dann? Müssten es nicht einfach nur "dann" heißen?
___
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ob eine Matrix nilpotent ist, kann man ja am charakt.
> Polynom p ablesen.
>
> nxn-Matrix A nilpotent <=> [mm]p=X^n[/mm]
Du meinst sicher [mm] p(X)=X^n
[/mm]
>
> Folgt daraus, dass p eine n-fache Nullstelle haben muss?
Ja.
> Oder einfach nur, dass grad(p)=n ?
Das sicher nicht, denn ist A irgendeine nxn-Matrix, so hat deren char. Polynom immer den Grad n.
>
>
> Und wie sieht das für Endomorphismen aus?
> f:V->V
>
> f ist nilpotent <=> grad(p)=dim(V) ?
Nein, das ist falsch. Begründung wie oben
> Kann man das so formulieren oder ist das etwas völlig
> anderes als
>
> f ist nilpotent und hat eine nxn-Abb.matrix M(f) <=> [mm]p=X^n[/mm]
Ist f nilpotent und ist M eine Abbildungsmatrix von f (vom Format nxn), so ist das char. Polynom von M gegeben durch [mm] p(X)=X^n.
[/mm]
>
>
> Weitere Frage:
> Hier steht unter Lemma 3.3 (a)
>
> http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS07/LinAlg2/LAII_SS07.pdf
> :
> Sei A∈K^nxn obere Dreiecksmatrix, so ist A
> nilpotent genau dann, wenn
> alle Diagonalelemente 0 sind.
>
> Stimmt das GENAU dann?
Ja.
>Müssten es nicht einfach nur "dann"
> heißen?
Nein.
1. Ist A eine obere Dreiecksmatrix, so sind die Diagonalelemente von A gerade die Eigenwerte von A
2. Ist A nilpotent, so hat A nur den Eigenwert 0.
Kombiniere nun 1. und 2., um zu sehen, dass "genau dann" richtig ist.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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