Nilpotent, Definition, < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Fr 28.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei [mm] R\not=\{0\} [/mm] ein kommutativer Ring mit 1. Beweisen Sie
a) ist a [mm] \in [/mm] Nil(R), so ist a ein Nullteiler. |
Hallo zusammen,
Def.:
Es sei R ein Ring.Ein Element a [mm] \in [/mm] R heißt nilpotent, wenn es ein n [mm] \in \IZ, n\ge [/mm] 1 mit der Eigenschshaft [mm] a^n=0 [/mm] gibt. Die Menge aller nilpotenten Elemente des Ringes R bezeichnen wir mit Nil(R)
D.h. doch weder, dass n die einzige ganze Zahl mit der Eigenschaft ist noch, dass n die kleinste Zahl mit der Eigenschaft ist.
Aber dann:
a [mm] \in [/mm] Nil(R)
Ist a=0, so sind wir fertig, da 0 immer Nullteiler.
Ist [mm] a\not=0, [/mm] so wähle [mm] b:=a^{n-1}
[/mm]
[mm] a^{n-1}a=a^{n-1+1}=a^n=0=a^n=a^{n-1}a
[/mm]
b [mm] \in [/mm] R, da a [mm] \in [/mm] R und R unter Multiplikation abgeschlossen.
Aber was wäre wenn [mm] a^{n-1}=0 [/mm] ist...?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Fr 28.11.2014 | | Autor: | sissile |
Achso, ich sage einfach, dass ich als n, das minimale mit der Eigenschaft wähle so kann dann [mm] a^{n-1} [/mm] nicht 0 sein.
Hatte wohl ein Brett vorm Kopf...
LG,
sissi
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Deine Frage ist damit wohl geklärt, Glückwunsch. :)
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