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| Aufgabe | Bestimmen Sie für das folgende nichtlineare Gleichungssystem alle 8 Lösungen:
[mm]x^2 + y^2 + z^2 = 6[/mm]
[mm]x^2 - y^2 + 2z^2 = 2[/mm]
[mm]2x^2 + y^2 - z^2 = 3[/mm] |
Hallo zusammen,
glücklicherweise weiß ich, dass es für dieses Gleichungssystem genau acht Lösungen gibt.
Blöderweise weiß ich nicht, wie ich diese ermitteln kann.
Generell bietet sich bei nichtlinearen Gleichungssystem ja das Newtonsche Näherungsverfahren an. Allerdings kann ich nicht nachvollziehen, wie ich damit acht Lösungen ermitteln kann.
Könnt Ihr mir hier eine Starthilfe geben?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 So 13.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
Du kannst doch z.B. $a \ := \ [mm] x^2$ [/mm] , $b \ := \ [mm] y^2$ [/mm] sowie $c \ := \ [mm] z^2$ [/mm] substituieren und erhältst ein lineares Gleichungssystem.
Oder Du kannst hier auch mittels Gauß-Algorithmus und ähnlichen Verfahren vorgehen, da ausschließlich die Quadrate der Variablen auftreten.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
> Du kannst doch z.B. [mm]a \ := \ x^2[/mm] , [mm]b \ := \ y^2[/mm] sowie [mm]c \ := \ z^2[/mm]
> substituieren und erhältst ein lineares Gleichungssystem.
>
> Oder Du kannst hier auch mittels Gauß-Algorithmus und
> ähnlichen Verfahren vorgehen, da ausschließlich die
> Quadrate der Variablen auftreten.
oh je, da hab ich wohl zu kompliziert gedacht …
Mittels Gauß-Algorithmus komme ich so auf [mm]x^2 = 1, y^2 = 3, z^2 = 2[/mm] . Durch "Wurzelziehen" ergeben sich dann genau acht Kombinationsmöglichkeiten.
Zwei davon sind z. B.
[mm]x = 1, y = \wurzel{3}, z = \wurzel{2}[/mm]
[mm]x = -1, y = -\wurzel{3}, z = -\wurzel{2}[/mm]
Mehr ist dann auch gar nicht zu tun, oder?
Gruß
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 14.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Loddar,
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> > Du kannst doch z.B. [mm]a \ := \ x^2[/mm] , [mm]b \ := \ y^2[/mm] sowie [mm]c \ := \ z^2[/mm]
> > substituieren und erhältst ein lineares Gleichungssystem.
> >
> > Oder Du kannst hier auch mittels Gauß-Algorithmus und
> > ähnlichen Verfahren vorgehen, da ausschließlich die
> > Quadrate der Variablen auftreten.
>
> oh je, da hab ich wohl zu kompliziert gedacht …
> Mittels Gauß-Algorithmus komme ich so auf [mm]x^2 = 1, y^2 = 3, z^2 = 2[/mm]
> . Durch "Wurzelziehen" ergeben sich dann genau acht
> Kombinationsmöglichkeiten.
>
> Zwei davon sind z. B.
>
> [mm]x = 1, y = \wurzel{3}, z = \wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]x = -1, y = -\wurzel{3}, z = -\wurzel{2}[/mm]
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> Mehr ist dann auch gar nicht zu tun, oder?
Nein, mehr ist nicht zu tun.
FRED
>
> Gruß
> Patrick
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