Nichtlineares Gleichungssystem < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Fr 09.11.2012 | | Autor: | anny20 |
| Aufgabe | Gesucht sind alle reellen Lösungen des nichtlinearen Gleichungssystems
[mm] x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} [/mm] = 1
[mm] x_{2}x_{4}^{2}x_{5} [/mm] = 100
[mm] x_{1}x_{3}x_{5} [/mm] = 10
Hinweis: Berechnen Sie dazu zuerst alle Lösugen, wenn alle [mm] x_{i} [/mm] > 0 sind. Dieser Fall führt nach Einführung geeigneter neuer Variablen auf ein lineares Gleichungssystem. Finden Sie danach sämtliche möglichen Vorzeichenverteilungen [mm] sgn(x_{i} [/mm] = [mm] (-1)^{\alpha}, \alpha [/mm] i [mm] \in [/mm] {0,1}, i = 1,...,5 durch Berechnung der allgemeinen Lösung eines geeigneten homogenen linearen Gleichungssystems über [mm] \IZ/2\IZ [/mm] in den Unbekannten [mm] s_{i} [/mm] := [mm] [\alpha_{i}], [/mm] i = 1,...,5 |
Ich kann mit dem Hinweis nichts anfangen. Wie finde ich eine geeignete Variable damit ich auf ein lineares Gleichungssystem komme? Und weiters verstehe ich nicht was mit den Vorzeichenverteilungen gemeint ist?
Bitte um Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gesucht sind alle reellen Lösungen des nichtlinearen
> Gleichungssystems
>
> [mm]x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}[/mm] = 1
> [mm]x_{2}x_{4}^{2}x_{5}[/mm] = 100
> [mm]x_{1}x_{3}x_{5}[/mm] = 10
>
> Hinweis: Berechnen Sie dazu zuerst alle Lösugen, wenn alle
> [mm]x_{i}[/mm] > 0 sind. Dieser Fall führt nach Einführung
> geeigneter neuer Variablen auf ein lineares
> Gleichungssystem. Finden Sie danach sämtliche möglichen
> Vorzeichenverteilungen [mm]sgn(x_{i}[/mm] = [mm](-1)^{\alpha}, \alpha[/mm] i
> [mm]\in[/mm] {0,1}, i = 1,...,5 durch Berechnung der allgemeinen
> Lösung eines geeigneten homogenen linearen
> Gleichungssystems über [mm]\IZ/2\IZ[/mm] in den Unbekannten [mm]s_{i}[/mm]
> := [mm][\alpha_{i}],[/mm] i = 1,...,5
> Ich kann mit dem Hinweis nichts anfangen. Wie finde ich
> eine geeignete Variable damit ich auf ein lineares
> Gleichungssystem komme? Und weiters verstehe ich nicht was
> mit den Vorzeichenverteilungen gemeint ist?
>
> Bitte um Hilfe!!
Nur ein Stichwort: Logarithmen !
Klingelt' s ?
LG, Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 09.11.2012 | | Autor: | anny20 |
Der Logarithmus von 1 ist 0, von 10 1 und von 100 2. Mehr klingelt leider noch nicht.
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> Der Logarithmus von 1 ist 0, von 10 1 und von 100 2. Mehr
> klingelt leider noch nicht.
Hallo anny20,
übrigens noch:
herzlich
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nimm als neue Variablen die (dezimalen) Logarithmen der
[mm] x_i [/mm] , also [mm] z_i:=log(x_i)
[/mm]
Dann wird z.B. aus der ersten Produktgleichung
$ [mm] x_{1}*x_{2}*x_{3}*x_{4}\ [/mm] =\ 1 $
die (lineare) Gleichung
$ [mm] z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}\ [/mm] =\ log(1)\ =\ 0 $
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 09.11.2012 | | Autor: | anny20 |
Vielen, vielen Dank!
dann habe ich jetzt das lineare Gleichungssystem
[mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2} [/mm] + [mm] z_{3} [/mm] + [mm] z_{4} [/mm] = 0
[mm] z_{2} [/mm] + [mm] 2z_{4} [/mm] + [mm] z_{5} [/mm] = 2
[mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{3} [/mm] + [mm] z_{5} [/mm] = 1
ich würde dieses Gleichungssystem mit dem Gauß Algorithmus lösen, oder liege ich da falsch?
Mir is immer noch unklar was mit den Vorzeichenverteilungen gemeint ist?
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Hallo anny,
> dann habe ich jetzt das lineare Gleichungssystem
>
> [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{4}[/mm] = 0
> [mm]z_{2}[/mm] + [mm]2z_{4}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 2
> [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 1
Das stimmt schonmal. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich würde dieses Gleichungssystem mit dem Gauß
> Algorithmus lösen, oder liege ich da falsch?
OK, aber Du wirst zwei der Variablen als Parameter setzen müssen.
Ich schlage [mm] z_3 [/mm] und [mm] z_5 [/mm] vor, aber es geht natürlich auch anders.
> Mir is immer noch unklar was mit den Vorzeichenverteilungen
> gemeint ist?
Na, beim Logarithmieren musstest Du ja negative [mm] x_i [/mm] ausschließen. Die kann es aber trotzdem geben.
Nehmen wir mal die zweite Gleichung: [mm] x_2*{x_4}^2*x_5=100.
[/mm]
Das Quadrat ist immer positiv. Also sind entweder [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] beide >0 oder beide <0. Also zwei Möglichkeiten.
In der ersten Gleichung gibt es 8 mögliche Vorzeichenverteilungen, in der dritten sind es 4 Möglichkeiten.
Nun muss man noch prüfen, ob die alle frei kombinierbar sind oder ob sich manche Kombinationen ausschließen. Du kannst übrigens auf Anhieb sagen, dass es da Ausschlüsse geben muss.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 10.11.2012 | | Autor: | anny20 |
Danke reverend für die Tipps!
> Hallo anny,
>
> > dann habe ich jetzt das lineare Gleichungssystem
> >
> > [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{4}[/mm] = 0
> > [mm]z_{2}[/mm] + [mm]2z_{4}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 2
> > [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 1
>
> Das stimmt schonmal.
>
> > ich würde dieses Gleichungssystem mit dem Gauß
> > Algorithmus lösen, oder liege ich da falsch?
>
> OK, aber Du wirst zwei der Variablen als Parameter setzen
> müssen.
> Ich schlage [mm]z_3[/mm] und [mm]z_5[/mm] vor, aber es geht natürlich auch
> anders.
Ich bin jetzt auf die folgenden Gleichungen gekommen:
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
[mm] z_{5} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] z_{1} [/mm] = 1 - [mm] \mu [/mm] - [mm] \lambda
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = -4 + [mm] 3\lambda
[/mm]
[mm] z_{4} [/mm] = 3 - [mm] \lambda [/mm]
muss ich das jetzt wieder auf die x bringen?
>
> > Mir is immer noch unklar was mit den Vorzeichenverteilungen
> > gemeint ist?
>
> Na, beim Logarithmieren musstest Du ja negative [mm]x_i[/mm]
> ausschließen. Die kann es aber trotzdem geben.
>
> Nehmen wir mal die zweite Gleichung: [mm]x_2*{x_4}^2*x_5=100.[/mm]
>
> Das Quadrat ist immer positiv. Also sind entweder [mm]x_2[/mm] und
> [mm]x_5[/mm] beide >0 oder beide <0. Also zwei Möglichkeiten.
>
> In der ersten Gleichung gibt es 8 mögliche
> Vorzeichenverteilungen, in der dritten sind es 4
> Möglichkeiten.
für die erste Gleichung bin ich auf die Fälle gekommen:
[mm] x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} [/mm] > 0
[mm] x_{1},x_{2} [/mm] < 0
[mm] x_{1},x_{3} [/mm] < 0
[mm] x_{1},x_{4} [/mm] < 0
[mm] x_{2},x_{3} [/mm] < 0
[mm] x_{2},x_{4} [/mm] < 0
[mm] x_{3},x_{4} [/mm] < 0
das sind aber nur 7, was ist der 8te? oder habe ich das falsch verstanden?
und für die dritte auf:
[mm] x_{1},x_{3},x_{5} [/mm] > 0
[mm] x_{1},x_{3} [/mm] < 0
[mm] x_{3},x_{5} [/mm] < 0
[mm] x_{1},x_{5} [/mm] < 0
>
> Nun muss man noch prüfen, ob die alle frei kombinierbar
> sind oder ob sich manche Kombinationen ausschließen. Du
> kannst übrigens auf Anhieb sagen, dass es da Ausschlüsse
> geben muss.
beziehen sich die Ausschlüsse auf meine 3 neuen Gleichungen?
>
> Grüße
> reverend
>
Liebe Grüße
anny
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Hallo anny20,
> Danke reverend für die Tipps!
>
> > Hallo anny,
> >
> > > dann habe ich jetzt das lineare Gleichungssystem
> > >
> > > [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{4}[/mm] = 0
> > > [mm]z_{2}[/mm] + [mm]2z_{4}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 2
> > > [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 1
> >
> > Das stimmt schonmal.
> >
> > > ich würde dieses Gleichungssystem mit dem Gauß
> > > Algorithmus lösen, oder liege ich da falsch?
> >
> > OK, aber Du wirst zwei der Variablen als Parameter setzen
> > müssen.
> > Ich schlage [mm]z_3[/mm] und [mm]z_5[/mm] vor, aber es geht natürlich
> auch
> > anders.
>
>
> Ich bin jetzt auf die folgenden Gleichungen gekommen:
>
> [mm]z_{3}[/mm] = [mm]\mu[/mm]
> [mm]z_{5}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> [mm]z_{1}[/mm] = 1 - [mm]\mu[/mm] - [mm]\lambda[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = -4 + [mm]3\lambda[/mm]
> [mm]z_{4}[/mm] = 3 - [mm]\lambda[/mm]
>
> muss ich das jetzt wieder auf die x bringen?
>
Ja.
> >
> > > Mir is immer noch unklar was mit den Vorzeichenverteilungen
> > > gemeint ist?
> >
> > Na, beim Logarithmieren musstest Du ja negative [mm]x_i[/mm]
> > ausschließen. Die kann es aber trotzdem geben.
> >
> > Nehmen wir mal die zweite Gleichung: [mm]x_2*{x_4}^2*x_5=100.[/mm]
> >
> > Das Quadrat ist immer positiv. Also sind entweder [mm]x_2[/mm] und
> > [mm]x_5[/mm] beide >0 oder beide <0. Also zwei Möglichkeiten.
> >
> > In der ersten Gleichung gibt es 8 mögliche
> > Vorzeichenverteilungen, in der dritten sind es 4
> > Möglichkeiten.
>
> für die erste Gleichung bin ich auf die Fälle gekommen:
>
> [mm]x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}[/mm] > 0
> [mm]x_{1},x_{2}[/mm] < 0
> [mm]x_{1},x_{3}[/mm] < 0
> [mm]x_{1},x_{4}[/mm] < 0
> [mm]x_{2},x_{3}[/mm] < 0
> [mm]x_{2},x_{4}[/mm] < 0
> [mm]x_{3},x_{4}[/mm] < 0
>
> das sind aber nur 7, was ist der 8te? oder habe ich das
> falsch verstanden?
>
Es fehlt der Fall, daß [mm]x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} < 0 [/mm]
> und für die dritte auf:
>
> [mm]x_{1},x_{3},x_{5}[/mm] > 0
> [mm]x_{1},x_{3}[/mm] < 0
> [mm]x_{3},x_{5}[/mm] < 0
> [mm]x_{1},x_{5}[/mm] < 0
>
> >
> > Nun muss man noch prüfen, ob die alle frei kombinierbar
> > sind oder ob sich manche Kombinationen ausschließen. Du
> > kannst übrigens auf Anhieb sagen, dass es da Ausschlüsse
> > geben muss.
>
> beziehen sich die Ausschlüsse auf meine 3 neuen
> Gleichungen?
Das bezieht sich auf die 3 Ausgangsgleichungen.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
>
> Liebe Grüße
> anny
>
Gruss
MathePower
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Hallo anny,
da gibt es noch ein Problem:
> > > [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{4}[/mm] = 0
> > > [mm]z_{2}[/mm] + [mm]2z_{4}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 2
> > > [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{3}[/mm] + [mm]z_{5}[/mm] = 1
> >
> > Das stimmt schonmal.
>
>
> Ich bin jetzt auf die folgenden Gleichungen gekommen:
>
> [mm]z_{3}[/mm] = [mm]\mu[/mm]
> [mm]z_{5}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> [mm]z_{1}[/mm] = 1 - [mm]\mu[/mm] - [mm]\lambda[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = -4 + [mm]3\lambda[/mm]
> [mm]z_{4}[/mm] = 3 - [mm]\lambda[/mm]
Hm. [mm] z_1+z_2+z_3+z_4=\lambda
[/mm]
Soll das so? 
Den Rest hat Mathepower ja schon beantwortet.
Übrigens: bei Deinen Fallunterscheidungen reicht die Angabe z.B. [mm] z_1,z_3<0 [/mm] nicht aus. Du musst schon noch [mm] z_2,z_4>0 [/mm] dazuschreiben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 11.11.2012 | | Autor: | anny20 |
Gut die Fallunterscheidungen sind klar. Danke für eure Hilfe!
Komme ich von [mm] z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] wieder auf [mm] x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] zurück?
Oder ist die Lösungsmenge:
L = [mm] \{ \pmat{1-\mu-\lambda\\-4+3\lambda\\ \mu\\3-\lambda \\ \lambda} | \mu,\lambda \in \IR \}
[/mm]
schon die fertige Lösung?
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Hallo,
nein, Du bist nicht fertig. Die Lösung des linearen Gleichungssystems stimmt nicht, daher mein Hinweis.
Es soll doch [mm] z_q+z_2z_3+z_4=0 [/mm] sein, aber bei Dir ist diese Summe [mm] \lambda.
[/mm]
Bevor Du also zurückrechnest, finde erst die richtige Lösung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 11.11.2012 | | Autor: | anny20 |
> Hallo,
>
> nein, Du bist nicht fertig. Die Lösung des linearen
> Gleichungssystems stimmt nicht, daher mein Hinweis.
>
> Es soll doch [mm]z_q+z_2z_3+z_4=0[/mm] sein, aber bei Dir ist diese
> Summe [mm]\lambda.[/mm]
>
> Bevor Du also zurückrechnest, finde erst die richtige
> Lösung.
>
> Grüße
> reverend
>
Habe den Fehler gefunden.
Habe jetzt die Lösungsmenge:
L = [mm] \{ \pmat{1-\mu-\lambda\\-4+3\lambda\\ \mu \\ 3-2\lambda\\ \lambda} \}
[/mm]
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Hallo anny,
> Habe den Fehler gefunden.
>
> Habe jetzt die Lösungsmenge:
>
> L = [mm]\{ \pmat{1-\mu-\lambda\\
-4+3\lambda\\
\mu \\
3-2\lambda\\
\lambda} \}[/mm]
Das ist richtig!
Dann kannst du ja jetzt zurückrechnen. Beide Seiten mit der Exponentialfunktion behandeln...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 12.11.2012 | | Autor: | anny20 |
> Hallo anny,
>
> > Habe den Fehler gefunden.
> >
> > Habe jetzt die Lösungsmenge:
> >
> > L = [mm]\{ \pmat{1-\mu-\lambda\\
-4+3\lambda\\
\mu \\
3-2\lambda\\
\lambda} \}[/mm]
>
> Das ist richtig!
>
> Dann kannst du ja jetzt zurückrechnen. Beide Seiten mit
> der Exponentialfunktion behandeln...
>
> Grüße
> reverend
>
Wie funktioniert das?
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Hallo anny,
> > > Habe jetzt die Lösungsmenge:
> > >
> > > L = [mm]\{ \pmat{1-\mu-\lambda\\
-4+3\lambda\\
\mu \\
3-2\lambda\\
\lambda} \}[/mm]
> >
> > Das ist richtig!
> >
> > Dann kannst du ja jetzt zurückrechnen. Beide Seiten mit
> > der Exponentialfunktion behandeln...
Oh, ich sehe gerade, dass ich mich hier geirrt habe. Du hattest ja den dekadischen Logarithmus verwendet.
> Wie funktioniert das?
Aus [mm] x_1x_2x_3x_4=1 [/mm] war durch logarithmieren geworden:
[mm] \log{x_1}+\log{x_2}+\log{x_3}+\log{x_4}=0
[/mm]
Der Bequemlichkeit halber hattest Du dann [mm] \log{x_i}=z_i [/mm] geschrieben.
Die Rückrichtung geht also einfach so: [mm] x_i=10^{z_i}, [/mm] für alle i.
Dazu kommt jetzt noch die Liste mit den Vorzeichenmöglichkeiten.
Grüße
reverend
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> Oh, ich sehe gerade, dass ich mich hier geirrt habe. Du
> hattest ja den dekadischen Logarithmus verwendet.
(auf meinen Hinweis hin - da ja Zehnerpotenzen als
Produktwerte vorkamen)
Auch die Funktion [mm] $x\mapsto 10^x$ [/mm] ist eine Exponential-
funktion, halt nur nicht die sogenannt "natürliche" ...
LG Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 13.11.2012 | | Autor: | anny20 |
[mm] z_{1} [/mm] = 1 - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{10}{x_{3}x_{5}}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = -4 + [mm] 3\lambda
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3\lambda}{10000}
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = 3 - [mm] 2\lambda
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1000}{2x_{5}}
[/mm]
[mm] \mu [/mm] = [mm] x_{3}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] x_{5}
[/mm]
kann das stimmen?
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Hallo anny,
nein, das stimmt z.T. im Zähler nicht.
> [mm]z_{1}[/mm] = 1 - [mm]\lambda[/mm] - [mm]\mu[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{10}{x_{3}x_{5}}[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = -4 + [mm]3\lambda[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3\lambda}{10000}[/mm]
Zähler: [mm] 10^{3\lambda}
[/mm]
> [mm]z_{3}[/mm] = 3 - [mm]2\lambda[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1000}{2x_{5}}[/mm]
Du meinst hier [mm] z_4.
[/mm]
Das führt dann zu [mm] x_4=\bruch{10^3}{10^{2\lambda}}=\bruch{1000}{{10^2}^\lambda}=\bruch{1000}{100^{\lambda}}
[/mm]
> [mm]\mu[/mm] = [mm]x_{3}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]x_{5}[/mm]
Nein. [mm] x_3=10^{\mu} [/mm] und [mm] x_5=10^{\lambda}
[/mm]
> kann das stimmen?
Soweit die direkte Umrechnung. Natürlich kannst Du (und solltest Du sogar) die Parameter neu definieren mit [mm] \lambda'=10^{\lambda} [/mm] und [mm] \mu'=10^{\mu}. [/mm] Aber selbst, wenn Du das gemeint hast, stimmen Deine Gleichungen noch nicht.
Grüße
reverend
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