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Hallo!
Ich hoffe, dass ich für meinen Eintrag den richtigen Ort gefunden habe.
Im Zuge meiner Masterarbeit bin ich ein paar Systemen von nichtlinearen Gleichungen begegnet.
In diesem Zusammenhang sind für mich folgende Punkte relevant:
1.)
Die Frage nach der Existenz einer eindeutigen Lösung.
Bzw. da das ja immer von der spezifischen Art der Gleichungen abhängt: Gibt es geeignete Verfahren, um ein konkretes nichtlineares Gleichungssystem daraufhin zu untersuchen, wie viele Lösungen es gibt (bzw. ob es nur eine einzige geben kann)?
2.)
a) Ist es u.U. möglich eine Aussage darüber zu treffen, ob es eine eindeutige Lösung gibt, wenn der Definitionsbereich der Lösungsvariablen eingeschränkt wird?
b) Und in diesem Zusammenhang: Welche (gebräuchlichen) Vorgehensweisen gibt es, um bei numerischen Lösungsverfahren Bedingungen an die Lösungsvariablen zu stellen?
Leider ist mein mathematisches Wissen (und Verständnis) zu diesem Themengebiet rudimentär.
Ich wäre daher insbesondere auch für Hinweise zu Literatur, die diese Fragestellungen behandelt, sehr dankbar. "Einstiegsliteratur", sofern vorhanden, wäre dabei natürlich besonders gerne gesehen...
So, ich hoffe, dass meine Fragen nicht zu wirr sind und ihr mit ihnen überhaupt irgendetwas anfangen könnt.
Für alle Fälle versuche ich meine Probleme noch einmal an einem konkreten Beispiel zu veranschaulichen:
Gegeben sei ein Gleichungssystem mit n Gleichungen (und n Lösungsvariablen) folgender Gestalt:
[mm] \fedonFi(x)=1/a_1*(1/a_2(b_1i-(a_3-exp(-a_4(a_5-sum(x_i,i=1,n)))))*(b_2i-x_i)-b_3i)-x_i=0
[/mm]
[mm] \fedoff
[/mm]
Wobei [mm] \fedon [/mm] i=1,..,n [mm] \fedoff
[/mm]
und [mm] \fedon [/mm] a1,...,a5 = [mm] const\fedoff [/mm] sowie [mm] \fedon [/mm] b1i,...,b3i = const.
[mm] \fedoff
[/mm]
Für mich wäre es jetzt genial zu wissen, ob es Möglichkeiten gibt, (in Abhängigkeit der Konstanten) Aussagen darüber zu treffen, ob und, falls ja, wie viele Lösungen das Gleichungssystem hat.
Ferner würde ich die Lösungen gerne auf positive [mm] \fedon [/mm] x [mm] \fedoff [/mm] beschränken und dazu noch für jedes [mm] \fedon x_i\fedoff [/mm] eine individuelle obere Grenze des Definitionsbereich festlegen.
Für Hinweise (wie gesagt gerne auch geeignete Literatur!), wie ich einem derartigen Problem begegnen könnte, wäre ich sehr dankbar!
Vielen Dank schon einmal im Voraus!!
Johannes
P.S: Als Hinweis zum Cross-Posting: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=125646&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.fr%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D12%26cad%3Drja%26uact%3D8%26ved%3D0CCgQFjABOApqFQoTCJyGkJ3lj8YCFSaC2wodU3cA6w
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Fr 19.06.2015 | | Autor: | Johannes5 |
Hallo noch einmal!
Also, zwar habe ich das Problem noch nicht wirklich gelöst, aber ich habe es, so denke ich, erfolgreich umgangen.
In diesem Sinne bin ich natürlich nach wie vor an einer Beantwortung interessiert, allerdings ist sie für meine Masterarbeit (voraussichtlich) nicht mehr relevant, so dass es in jedem Fall nicht mehr dringend ist.
Vielen Dank in jedem Fall!
Johannes
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Fr 19.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Johannes.
Deine Gleichungen sind - fürchte ich - nicht analytisch nach [mm] x_{i} [/mm] umstellbar, daher fällt ein Einsetzungsverfahren weg.
Ist folgendes gegeben?
[mm]F_{i}(x)=\frac{1}{a_1}\cdot{}\left(\frac{1}{a_2}\left(b_1i-\left(a_3-exp\left(-a_4\left(a_5-\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i)\right)\right)\right)\right)\right)\cdot{}\left(b_2i-x_i\right)-b_3i\right)-x_i[/mm]
Was du versuchen könntest, ist eine Gleichungsdivision, nachdem du das alleinstehende [mm] x_{i} [/mm] auf die andere Seite gebracht hast, aber das habe ich nicht durchprobiert.
Alternativ bleibt ein numerisches Lösungsverfahren, wenn die Parameter bekannt sind.
Oder hast du evtl sogar eine rekursive Darstellung der [mm] F_{i}(x) [/mm] mit der du dann weiterrechnen kannst? Das ist in seltenen Fällen sogar einfacher, als mit der expliziten Darstellung zu rechnen.
Viel mehr Möglichkeiten sehe ich da gerade nicht.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 01.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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