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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:01 Fr 28.03.2014 | | Autor: | Aegon |
| Aufgabe | Man löse das folgende nichtlineare Cauchy-Problem
[mm] (\frac{\partial}{\partial x} u(x,y))^2+(\frac{\partial}{\partial y} u(x,y))^2 [/mm] - 1 = 0 , u(x,0)= [mm] \sqrt{x} [/mm] |
Für die charakteristischen Dglen habe ich:
(P und Q sind die Ableitungen von U nach x bzw y)
[mm] \frac{d}{ds} [/mm] X = 2 P , X(0,t) = t
[mm] \frac{d}{ds} [/mm] Y = 2 Q , Y(0,t) = 0
[mm] \frac{d}{ds} [/mm] P = 0, P(0,t) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{t}}
[/mm]
[mm] \frac{d}{ds} [/mm] Q = 0 , Q(0,t) = 0
[mm] \frac{d}{ds} [/mm] U = 2 [mm] P^2 [/mm] + 2 [mm] Q^2, [/mm] U(0,t) = [mm] \sqrt{t}
[/mm]
Aus [mm] \frac{d}{ds} [/mm] P = 0 bekomme ich P(s,t) = c1 und damit c1 = [mm] \frac{1}{2\sqrt{t}}. [/mm] Das Gleiche mit [mm] \frac{d}{ds} [/mm] Q = 0, c2 = 0.
Also [mm] P(s,t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}, [/mm] Q(s,t) = 0
Eingesetzt in X, Y und U erhalte ich
X(s,t) = [mm] \frac{s}{\sqrt{t}}+t [/mm] , Y(s,t) = 0 und U(s,t) = [mm] \frac{s+ 2\sqrt{t}*t}{2t}
[/mm]
Jetzt würde ich gerne X und Y nach s und t auflösen, aber in diesem Fall ist Y=0.
Wie bestimme ich hier u(x,y), also s und t? Habe ich vorher schon einen Fehler gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 28.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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