Nichtendliche VR, Komplement < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Di 04.12.2007 | | Autor: | lauser |
| Aufgabe | a) Sei V nicht notwendig endlich erzeugter K-Vektorraum mit Basis B := [mm] \{v_i | i \in I\}. [/mm] Zeige, dass sich jeder Vektor aus V als eindeutige, endliche Linearkombination von Vektoren aus B schreiben lässt.
b) Gegen sind Unterräume W,U von V. Bestimme jeweils ein W* [mm] \leq [/mm] V sodass: U + W = U [mm] \oplus [/mm] W*.
i) V = [mm] \IR^3, [/mm] U = <(1,0,1)> und W = <(2,1,1),(3,2,1)>
ii) V = [mm] \IR^4, [/mm] U =<(1,-3,1,0),(0,3,0,-1)> und W = <(2,1,1,0),(3,2,1,0)>
iii) V = [mm] \IZ^{3}_2, [/mm] U = <(0,1,0),(0,0,1)> und W = <(1,1,0),(1,0,1)>.
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Hallo an alle!
Ich beschäftige mich mit der Aufgabe oben, wobei ich denke, dass a) ist nur eine Schreibaufgabe, denn wir haben für endlich erzeugte Vektorräume gezeigt, dass sich jeder Vektor eindeutig darstellen lassen kann.
Der Satz war dieser: Sei V ein K-Vektorraum, [mm] \{v_1,...,v_n\} [/mm] ist eine Basis genau dann wenn sich alle v [mm] \in [/mm] V sich schreiben lassen als v = [mm] \summe_{i=1}^{n}{k_i v_i} [/mm] und die Koeffizienten eindeutig sind. Dazu hab ich auch den Beweis.
Ich frage mich nur, an welchen Stellen ich da nun "vorsichtig" sein muss...wir nennen in nicht notwending endlich erzeugten Vektoräumen eine Teilmenge B von V, als B Basis, falls V = <B> und B linear unabhängig ist. Dabei heißt eine Teilmenge von V linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge von dieser Menge linear unabhängig ist...
Ich seh da nur die Stolpersteine, die es bestimmt gibt, nicht...
Zu b) wollte ich generell fragen, wie ich da ansetzen soll. Die Aufgabe ist quasi ein W* [mm] \leq [/mm] W zu finden, sodass U + W = U [mm] \oplus [/mm] W*, also U + W = U + W* und U [mm] \cap [/mm] W* = {0}.
Mir fehlt da der generelle Ansatz, wie ich so ein W* "produzieren" kann. Die eine Voraussetzung ist, das U [mm] \cap [/mm] W* = {0} ist.
Bei i) hab ich bemerkt, dass sich der Vektor (1,0,1) durch eine Linearkombination der Vektoren aus W darstellen lässt. Ich nehme mal an, dass muss ich verhindern.
Deswegen muss ich in W einen Vektor "rausnehmen", weil der Schnitt zwischen W und U ja nicht leer ist.
Da aber U und W* ganz V darstellen soll, brauch ich aber mindestents drei Vektoren -- ich denke mal, wenn ich den Ansatz raus habe, dann sind die anderen nicht mehr so schwer -- über Tipps würde ich mich freuen!
Vielen dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) Sei V nicht notwendig endlich erzeugter K-Vektorraum mit
> Basis B := [mm]\{v_i | i \in I\}.[/mm] Zeige, dass sich jeder Vektor
> aus V als eindeutige, endliche Linearkombination von
> Vektoren aus B schreiben lässt.
>
> b) Gegen sind Unterräume W,U von V. Bestimme jeweils ein W*
> [mm]\leq[/mm] V sodass: U + W = U [mm]\oplus[/mm] W*.
>
> i) V = [mm]\IR^3,[/mm] U = <(1,0,1)> und W = <(2,1,1),(3,2,1)>
> ii) V = [mm]\IR^4,[/mm] U =<(1,-3,1,0),(0,3,0,-1)> und W =
> <(2,1,1,0),(3,2,1,0)>
> iii) V = [mm]\IZ^{3}_2,[/mm] U = <(0,1,0),(0,0,1)> und W =
> <(1,1,0),(1,0,1)>.
>
> Ich frage mich nur, an welchen Stellen ich da nun
> "vorsichtig" sein muss...wir nennen in nicht notwending
> endlich erzeugten Vektoräumen eine Teilmenge B von V, als B
> Basis, falls V = <B> und B linear unabhängig ist. Dabei
> heißt eine Teilmenge von V linear unabhängig, falls jede
> endliche Teilmenge von dieser Menge linear unabhängig
> ist...
>
> Ich seh da nur die Stolpersteine, die es bestimmt gibt,
> nicht...
Hallo,
auf jeden Fall darf man nicht anfangen, mit unendlichen Summen zu hantieren, das wäre der erste Stolperstein.
Da B eine Basis ist, wissen wir, daß wir jedes [mm] v\in [/mm] V als endl. Linearkombination darstellen können (Erzeugendensystem).
Für den Beweis würde ich nun davon ausgehen, daß es zwei Darstellungen gibt und mit der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] folgern, daß die Darstellungen gleich sind.
Etwas lästig finde ich die Indexmenge I.
Da muß man wohl irgendwie sowas machen: Sei [mm] J:=\{v_{i_1}, v_{i_2},..., v_{i_n}\}\subseteq [/mm] I,
und dann [mm] v:=\summe_{k=1}^{n}a_k v_{i_k} [/mm] =...
>
> Zu b) wollte ich generell fragen, wie ich da ansetzen soll.
> Die Aufgabe ist quasi ein W* [mm]\leq[/mm] W zu finden, sodass U + W
> = U [mm]\oplus[/mm] W*, also U + W = U + W* und U [mm]\cap[/mm] W* = {0}.
>
> Mir fehlt da der generelle Ansatz, wie ich so ein W*
> "produzieren" kann. Die eine Voraussetzung ist, das U [mm]\cap[/mm]
> W* = {0} ist.
U+W ist ja dasselbe wie [mm]
Dann ergänzt Du eine Basis von U zu einer Basis v. [mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mi 05.12.2007 | | Autor: | lauser |
Hallo Angela...
das mit der Indexmenge verstehe ich nicht so wirklich ganz...ich nehme mal an, das hat damit zu tun, dass ich die Vektoren v [mm] \in [/mm] V mit "Vektoren" aus B darstellen kann, aber das sind ja "endlich" viele.
Also ich habe mit B eine Basis von V, also B = [mm] \{v_i \| i \in I \}.
[/mm]
Sei jetzt v [mm] \in [/mm] V. Angenommen, die Darstellung mit Vektoren aus B ist nicht eindeutig. Sei der Vektor etwa über die Basisvektoren J := [mm] \{i_1,...i_n\} \subset [/mm] I dargestellt.
Dann ist 0 = [mm] \summe_{k=1}^{n}{a_{k} v_{i_k}} [/mm] - [mm] \summe_{k_1}^{n}{a*_k v_{i_k} } [/mm] = [mm] \summe_{k_1}^{n}{(a_k - a'_k) v_i_k}
[/mm]
Das ist nur Null, wenn [mm] a_k [/mm] = a'_k, im Widerspruch dazu, dass die Vektoren eine verschiedene Darstellung haben.
Was meinst du dazu?
Bei b) bin ich noch am überlegen und werde mich später noch mal melden.
Vielen dank auf jeden Fall für deine Mühe!
Grüße!
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> Also ich habe mit B eine Basis von V, also B = [mm]\{v_i \| i \in I \}.[/mm]
>
> Sei jetzt v [mm]\in[/mm] V. Angenommen, die Darstellung mit Vektoren
> aus B ist nicht eindeutig. Sei der Vektor etwa über die
> Basisvektoren J := [mm]\{i_1,...i_n\} \subset[/mm] I dargestellt.
>
> Dann ist 0 = [mm]\summe_{k=1}^{n}{a_{k} v_{i_k}}[/mm] -
> [mm]\summe_{k_1}^{n}{a*_k v_{i_k} }[/mm] = [mm]\summe_{k_1}^{n}{(a_k - a'_k) v_i_k}[/mm]
>
> Das ist nur Null, wenn [mm]a_k[/mm] = a'_k, im Widerspruch dazu,
> dass die Vektoren eine verschiedene Darstellung haben.
>
> Was meinst du dazu?
Hallo,
ich halte da viel von, für die Korrektoren mußt Du unbedingt noch einfügen, daß das wegen der linearen Unabhängigkeit ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 06.12.2007 | | Autor: | lauser |
Hallo.
Also super, das das in a) schon mal stimmt. Im Endeffekt war das quasi der gleiche Beweis wie bei endlich erzeugten VR, nur dass es eben hier über den umweg einer Indexmenge geht.
Zu b), da hab ich gerade noch Probleme.
Du sagts, dass U+W ist ja dasselbe wie <U [mm] \cup [/mm] W>. Ich nehme mal an, dass diese Aussage nur stimmt, weil wir das Erzeugnis davon betrachten. Ich meine generell ist doch U [mm] \union [/mm] W nur dann ein Unterraum von V, wenn U [mm] \subset [/mm] W oder W [mm] \subset [/mm] U.
Gut anderenfalls ist ja bei i) der Fall gegeben, dass U [mm] \subset [/mm] W ist. Da war ja:
U = <(1,0,1)> und W = <(2,1,1),(3,2,1)>. Da ich den Vektor (1,0,1) über die Vektoren aus W darstellen kann, ist U [mm] \subset [/mm] W.
Ich bestimme also eine Basis von U+W = <(2,1,1),(3,2,1),(1,0,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)> -- hier bin ich mir nun nicht sicher, ob das so stimmt, aber das folgt doch direkt aus der linearen Abhängigkeit von dem (1,0,1) Vektor.
Ich schau mir an, ob die Vektoren darin linear unabhängig sind und bekomme für [mm] k_1, k_2 [/mm] ein GLS:
[mm] 2k_1 [/mm] + [mm] 3k_2 [/mm] = 0
[mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] = 0
[mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow k_1 [/mm] = [mm] -k_2 [/mm] in (1)
[mm] \Rightarrow k_2 [/mm] = 0 => [mm] k_1 [/mm] = 0. D.h. die beiden Vektoren sind linear unabhängig und Basis von U + W.
Jezt soll ich die Basis von U, also der Vektor (1,0,1) mit einem Vektor aus dieser Basis( 2,1,1),(3,2,1) so ergänzen, dass das ganze mir wieder U+W gibt...
Aber bevor ich jetzt weiterbastle, wäre es glaube ich besser, wenn die obere Frage erstmal geklärt wird.
Danke schon vorweg, einen schönen Nikolaustag!
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> Zu b), da hab ich gerade noch Probleme.
> Du sagts, dass U+W ist ja dasselbe wie <U [mm]\cup[/mm] W>. Ich
> nehme mal an, dass diese Aussage nur stimmt,
Hallo,
ja, das ist sehr, sehr wesentlich, und ich werde geradezu euphorisch, weil Du weißt, daß die Vereinigung v. Unterräumen i.a. kein Unterraum ist.
> Gut anderenfalls ist ja bei i) der Fall gegeben, dass U
> [mm]\subset[/mm] W ist. Da war ja:
> U = <(1,0,1)> und W = <(2,1,1),(3,2,1)>. Da ich den Vektor
> (1,0,1) über die Vektoren aus W darstellen kann, ist U
> [mm]\subset[/mm] W.
Ja.
>
> Ich bestimme also eine Basis von U+W =
> <(2,1,1),(3,2,1),(1,0,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)> -- hier bin
> ich mir nun nicht sicher, ob das so stimmt, aber das folgt
> doch direkt aus der linearen Abhängigkeit von dem (1,0,1)
> Vektor.
Ja.
>
> Ich schau mir an, ob die Vektoren darin linear unabhängig
> [...] D.h. die beiden Vektoren
> sind linear unabhängig und Basis von U + W.
Ja.
>
> Jezt soll ich die Basis von U, also der Vektor (1,0,1) mit
> einem Vektor aus dieser Basis( 2,1,1),(3,2,1) so ergänzen,
> dass das ganze mir wieder U+W gibt...
Genau.
>
> Aber bevor ich jetzt weiterbastle, wäre es glaube ich
> besser, wenn die obere Frage erstmal geklärt wird.
Welches war eigentlich die Frage? Oder anders: wenn ich sie nicht beantwortet habe, stell sie nochmal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Do 06.12.2007 | | Autor: | lauser |
Gut...die Frage war, naja eigentlich hat sich das erledigt. Ich war mir nur nicht sicher, ob all meine Folgerungen so korrekt waren.
Aber das sind sie ja anscheinend -- das freut mich natürlich sehr 
Zu i) muss ich jetzt schauen, ob
<(1,0,1),(3,2,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)>.
bzw.
<(1,0,1),(2,1,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)>.
Dabei muss <(1,0,1)> [mm] \cap [/mm] <(2,1,1)> = [mm] \{0\}
[/mm]
bzw. <(1,0,1)> [mm] \cap [/mm] <(3,2,1)> = [mm] \{0\}. [/mm]
Das ist stets erfüllt. Man kann sich das ja noch "veranschaulichen", und man sieht, dass sich die Geraden nur im Nullpunkt schneiden (sie können ja nur 0 Schnittpunkte, also Parallel, einen Schnittpunkt oder unendlich viele haben).
Ich seh nur jetzt nicht ein, wie ich prüfe, ob
<(1,0,1),(3,2,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)>.
bzw.
<(1,0,1),(2,1,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)>.
Ich nehme mal an, da muss ich ein GLS aufstellen, aber ich habe dann quasi vier Parameter. Oder ich nehme an, ich habe einen beliebigen, aber festen v [mm] \in [/mm] <(2,1,1,),(3,2,1)> mit [mm] k_i \in \IR, [/mm] sodass v = (2,1,1) [mm] k_1 [/mm] + (3,2,1) [mm] k_2.
[/mm]
Und jetzt such ich mir passende [mm] \lambda_i's, [/mm] sodass etwa
(1,0,1) [mm] \lambda_1 [/mm] + (2,1,1) [mm] \lambda_2 [/mm] = (2,1,1) [mm] k_1 [/mm] + (3,2,1) [mm] k_2
[/mm]
Damit hätte ich:
(1) [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] 2\lambda_2 [/mm] = [mm] 2k_1 [/mm] + [mm] 3k_2
[/mm]
(2) [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] k_1 [/mm] + [mm] 2k_2
[/mm]
(3) [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2
[/mm]
(3) in (2): [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] - [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] k_1 [/mm] + [mm] 2k_2 \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] -k_2 [/mm] in (3): [mm] \Rightarrow \lambda_2 [/mm] = [mm] k_1 [/mm] + [mm] 2k_2
[/mm]
in (1) [mm] -k_2 [/mm] + [mm] 2k_1 [/mm] + [mm] 4k_2 [/mm] = [mm] 2k_1 [/mm] + [mm] 3k_2 \Rightarrow [/mm] 0 = 0.
Folglich stimmt die Aussage, also <(1,0,1),(2,1,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)>.
Damit ist W* = <(2,1,1)> und W* [mm] \cap [/mm] U = {0}, sowie U + W* = U + W, also U + W = U [mm] \oplus [/mm] W*.
Was sagst du dazu? Die Rechnerrei ist recht aufwändig, aber irgendwie macht es Sinn.
Mit dem Schema probier ich es dann bei den anderen auch mal...
Grüße und dank!
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> Zu i) muss ich jetzt schauen, ob
>
> <(1,0,1),(3,2,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)>.
> bzw.
> <(1,0,1),(2,1,1)> = <(2,1,1),(3,2,1)>.
Hier kannst Du es Dir sehr einfach machen.
Du hattest ja herausgefunden, daß der Raum U+W die Dimension 2 hat.
Wenn Du nun eine Menge hast, welche von 2 linear unabhängigen Vektoren aus U+W aufgespannt wird, kann es gar nicht anders sein, als daß sie eine Basis dieses Raumes ist, und das ist z.B. für
[mm] \{(1,0,1),(3,2,1)\} [/mm] gegeben.
Du kannst also W* als <(3,2,1)> wählen.
Oder als <(2,1,1)>. Oder noch anders.
> Damit ist W* = <(2,1,1)> und W* [mm]\cap[/mm] U = {0}, sowie U + W*
> = U + W, also U + W = U [mm]\oplus[/mm] W*.
>
> Was sagst du dazu?
Du hast das richtige herausbekommen.
> Die Rechnerrei ist recht aufwändig, aber
> irgendwie macht es Sinn.
Wenn man etwas mehr denkt, braucht man weniger zu rechnen, aber Deine Rechnereien an sich waren sinnvoll und zielführend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Do 06.12.2007 | | Autor: | lauser |
Hallo danke für den Tipp! Ich versuch das gleich mal bei der nächsten Teilaufgabe anzuwenden.
ii) V = [mm] \IR^4, [/mm] U =<(1,-3,1,0),(0,3,0,-1)> und W = <(2,1,1,0),(3,2,1,0)>
Hier habe ich zunächst wieder überprüft, ob die Vektoren aus W, also (2,1,1,0), oder (3,2,1,0) eine Linearkombination von (1,-3,1,0) und (0,3,0,-1) sind. Das ist nicht der Fall. Die erzeugenden Vektoren von W und U sind auch linear unabhängig, d.h.
dim W = 2 und dim U = 2.
Ich betrachte jetzt U + W. Wir haben da einen Satz, der besagt für zwei Unterräume U,W von V:
dim(W+U) = dim(W) + dim(U) - dim(U [mm] \cap [/mm] W).
Ich muss mir also jetzt dim(U [mm] \cap [/mm] W) betrachten.
Hier würde ich aber sagen, dass das 0 ist, da ich ja schon gesehen habe, dass die Vektoren aus W nicht Linearkombinationen aus U sind.
Das einzige, was die beiden gemeinsam haben ist die 0, also dim(U [mm] \cap [/mm] W) = 0.
Damit folgt aber dim(W+U) = 4 = dim(V). Das einzige W* was ich hier wählen kann, wäre W* = {0}, also der Nullraum.
Da ist dann erfüllt: U + W = U [mm] \oplus [/mm] W*, da U [mm] \cap [/mm] W* = {0} und U + W* = U + W = V.
Was meinst du dazu?
Ich hab diesmal versucht, mehr mit der Dimension zu argumentieren -- dienen Ratschlägen folgend.
Grüße
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> Hallo danke für den Tipp! Ich versuch das gleich mal bei
> der nächsten Teilaufgabe anzuwenden.
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> ii) V = [mm]\IR^4,[/mm] U =<(1,-3,1,0),(0,3,0,-1)> und W =
> <(2,1,1,0),(3,2,1,0)>
>
> Hier habe ich zunächst wieder überprüft, ob die Vektoren
> aus W, also (2,1,1,0), oder (3,2,1,0) eine
> Linearkombination von (1,-3,1,0) und (0,3,0,-1) sind. Das
> ist nicht der Fall. Die erzeugenden Vektoren von W und U
> sind auch linear unabhängig, d.h.
> dim W = 2 und dim U = 2.
Hallo,
wenn Du es richtig gemacht hast, solltest Du jetzt festgestellt haben, daß alle 4 Vektoren linear unabhängig sind, z.B. durch betrachten des Ranges der Matrix, welche diese Vektoren als Spalten enthält.)
Dann ist U+W=<(1,-3,1,0),(0,3,0,-1), (2,1,1,0),(3,2,1,0)> = [mm] \IR^4.
[/mm]
Weiter ist U [mm] \cap W=\{0\}.
[/mm]
Also ist doch U+W= [mm] U\oplus [/mm] W.
Was kannst Du also als W* nehmen?
> Ich betrachte jetzt U + W. Wir haben da einen Satz, der
> besagt für zwei Unterräume U,W von V:
> dim(W+U) = dim(W) + dim(U) - dim(U [mm]\cap[/mm] W).
>
> Ich muss mir also jetzt dim(U [mm]\cap[/mm] W) betrachten.
>
> Hier würde ich aber sagen, dass das 0 ist, da ich ja schon
> gesehen habe, dass die Vektoren aus W nicht
> Linearkombinationen aus U sind.
> Das einzige, was die beiden gemeinsam haben ist die 0, also
> dim(U [mm]\cap[/mm] W) = 0.
> Damit folgt aber dim(W+U) = 4 = dim(V).
Was Du bisher schreibst, ist richtig, die Folgerung, die du nun ziehst, ist verkehrt.
> Das einzige W* was
> ich hier wählen kann, wäre W* = {0}, also der Nullraum.
Mit diesem W* hättest Du
dim(U+W*)=2, und das ist nicht das, was Du Dir wünschst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Fr 07.12.2007 | | Autor: | lauser |
Stimmt.
Ich will ja U + W* = W + W, also auch dim(U + W*) = dim(U+W).
D.h. ich nehme W* = W nehmen. Der Schnitt ist ja Null, weil die Vektoren alle linear unabhängig sind. Oder?
Grüße!
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> Stimmt.
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> Ich will ja U + W* = W + W, also auch dim(U + W*) =
> dim(U+W).
>
> D.h. ich nehme W* = W nehmen. Der Schnitt ist ja Null, weil
> die Vektoren alle linear unabhängig sind. Oder?
Ja, so ist es.
Du hattest zuvor offensichtlich das Ziel aus den Augen verloren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Fr 07.12.2007 | | Autor: | lauser |
Hallo.
Ich hab nur gerade gleich über iii) nachgedacht.
V = [mm] \IZ^3_2, [/mm] U = <(0,1,0),(0,0,1)> und W = <(1,1,0),(1,0,1)>.
Dort ist ja schon klar, dass es einen Vektor "zuviel" gibt, weil ich mir ja den [mm] \IZ^2 [/mm] über den Körper der Restklassen mod 2 anschaue. Das ist Körper, weil zwei Primzahl ist.
Für U ist:
(0,1,0) [mm] k_1 [/mm] + (0,0,1) [mm] k_2 [/mm] = (0,0,0) [mm] \Rightarrow k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = 0. Also sind die beiden Vektoren eine Basis von <(0,1,0),(0,0,1)>.
Für W ist:
[mm] k_1 [/mm] (1,1,0) + [mm] k_2 [/mm] (1,0,1) = (0,0,0), also:
[mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] = 0
[mm] k_1 [/mm] = 0
[mm] k_2 [/mm] = 0
D.h. die Vektoren sind Basis von <(1,1,0),(1,0,1)>.
Jetzt ist die Frage, ob die Vektoren "untereinander" linear unabhängig sind. Was sie ja nicht sein können, weil die Basis von [mm] \IZ^3_2 [/mm] aus maximal drei Vektoren bestehen kann.
Die Basisvektoren von W sind diesmal aber nicht "direkte" Linearkombinationen aus U oder umgekehrt.
U+W = <(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1)> = <(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0)>, da hier (1,0,1) = (0,1,0) + (0,0,1) + (1,1,0).
Ich suche jetzt ein W* , so dass U + W* = U + W = [mm] \IZ^3_2 [/mm] und U [mm] \cap [/mm] W* = {0}.
Das wäre ja für W* = <(1,1,0)> erfüllt, da (1,1,0) k = (0,1,0) [mm] l_1 [/mm] + (0,0,1) [mm] l_2 [/mm] nie durch die Vektoren dargestellt werden kann, weil der erste Eintrag ja die 1 ist.
Damit wäre auch dieser Teil erledigt...
was meinst du?
Grüße
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> Damit wäre auch dieser Teil erledigt...
> was meinst du?
Hallo,
Dein Ergebnis ist richtig, und Du handelst sinnvoll, um es zu errreichen.
Ich frage mich jedoch folgendes: hattet Ihr die Prüfung auf lineare Unabhängigkeit mittels Matrizen (Gaußverfahren, Zeilenstufenform) noch nicht?
Damit kannst Du Dir einiges an Arbeit sparen.
Nehmen wir das aktuelle Beispiel:
iii) V = $ [mm] \IZ^{3}_2, [/mm] $ U = <(0,1,0),(0,0,1)> und W = <(1,1,0),(1,0,1)>.
Ich stecke die Vektoren als Spalten in eine Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0&1&1 \\ 1 & 0&1&0 \\0 & 1&0&1}
[/mm]
Durch Zeilenumformungen erhalte ich
[mm] \pmat{ 1 & 0&0&1 \\ 0 & 1&0&1 \\0 & 0&1&1},
[/mm]
und hieraus kann ich direkt ablesen, daß 1.,2. und 3. (oder nach Belieben auch 1.2. und 4.) hereingesteckter Vektor linear unabhängig sind und den Raum U+W aufspannen, so daß ich sofort sehe, daß ich mit dem dritten der Vektoren den Raum W* aufspannen kann.
Falls Ihr das noch nicht hattet, vergiß es.
Falls doch, lohnt es sich sicher (ggf. Zeitersparnis in der Klausur...), die vorhergehenden Aufgaben unter diesem Aspekt nochmals anzuschauen, falls Du dafür Zeit hast - die ist am Studienbeginn ja meist knapp.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Fr 07.12.2007 | | Autor: | lauser |
Hallo!
Nein Matritzen haben wir noch gar nicht eingeführt, nur die (2x2) Dinger. Gauß-Algorithmus auch noch nicht.
Deswegen muss ich das wohl von Hand machen. Mit ein paar mehr Hilfsmitteln, wäre das nicht so mühselig -- und die Lösungen für die Korrektoren wäre auch kürzer.
Aber das ist nicht mein Bier
Vielen dank für die Hilfe, war echt super!
Ein schönes Wochenende und einen schönen zweiten Advent!
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