Nicht diffbar in (0,0) zeigen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Do 02.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
--- Ich weiß der Text ist lang, tut mir auch leid, aber ich hab alle meine Gedanken aufgeschrieben, damit ihr auch sehr, dass ich mir Gedanken mache ----
Ich hatte diese Frage schon mit zwei anderen unter dem Namen "Totaler Ableitung" gestellt, doch meinte dort Bastiane, klug, wie sie ist :D, es wäre wohl besser die Fragen getrennt zu stellen, was ich hiermit tue, da sie leider keine Antwort auf diese Frage hat und wir im anderen Thread noch recht lebhaft über die andere Frage diskutieren...
Ich soll zeigen, dass die Funktion f in (0,0) nicht diffbar ist !
[mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit f(x,y)= [mm] \wurzel{|xy|}
[/mm]
Ich denke, dass ich prinzipiell verstanden hab, was ich zeigen müßte.
Entweder, dass A nicht eindeutig wäre oder dass
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{ \parallel f(x+0,y+0)-f(0,0)-A(x,y)\parallel}{\parallel (x,y) \parallel } \not= [/mm] 0
= [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{ \parallel \wurzel{|xy|}-A(x,y)\parallel}{\parallel (x,y) \parallel }
[/mm]
Aber hier gehts schon net weiter. Ich bekomm es nur durch Abschätzen hin, dass der Ausdruck [mm] \le [/mm] 1+ |A| ist, aber das sagt ja nicht, dass es ungleich 0 ist....
Da ich anscheinend bei diesem Weg scheitere, hab ichs bis gerade noch mit Folgen versucht, (hab versucht zwei Nullfolgen zu nehmen und dann zu zeigen, dass die nicht den gleichen Grenzwert haben.
Ich habs mal ganz naiv probiert, ich schreib einfach mal meine Gedanken auf, auch wenns wahrscheinlich falsch ist !
Aus AnaI weiß man doch, dass f diffbar in in x ist, wenn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_{n})-f(x)}{x_n-x}=c
[/mm]
und das für alle beliebigen Folgen
Das hab ich mal versucht zu übertragen...
Sei [mm] x_{n}= \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] y_{n}= \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=0
[/mm]
[mm] f(x_{n},y_{n})=\wurzel{|x_{n}*y_{n}|}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \parallel f(x_{n},y_{n})-f(0,0) \parallel}{ \parallel (x_{n},y_{n})-(0,0) \parallel}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \parallel \wurzel{|x_{n}*y_{n}|} \parallel}{ \parallel (x_{n},y_{n}) \parallel}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \parallel \wurzel{|x_{n}*y_{n}|} \parallel}{ \wurzel{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}} } [/mm] und jetzt kommt was abteuerliches:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|\wurzel{|\bruch{1}{n}*\bruch{1}{n}|}|}{\wurzel{\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^2}}} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1/n}{ \wurzel{2}/n}= \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Wenn ich nun aber [mm] x_n= \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] y_n=\bruch{2}{n}
[/mm]
Dann erhalte ich [mm] \wurzel{\bruch{2}{5}}
[/mm]
Also zwei unterschiedliche c's ! Wobei ich gar net benutzt habe, dass der die Folge gegen 0 strebt...
Hmm, ihr seht groooooooooooooße Fragezeichen !
Ich komm da selbst auf keinen grünen Zweig ! Mir ist egal mit welchem Verfahren. Daher bitte ich euch, aus dem Königreich der Mathematik um Beistand ! Helft mir ! *poetisch versuch zu klingen*
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Do 02.06.2005 | | Autor: | Soldi01 |
also ich würd es anders versuchen....
undzwar würd ich einfach das Totaledifferential bilden:
[mm]z=\bruch{y+x}{2*\wurzel{x*y}}[/mm]
nun kann man [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\pm0}z(x,y)[/mm] und das ist dann ja nicht bestimmt......
bzw. natürlich [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\pm0}z(x)[/mm] und [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\pm0}z(y)[/mm]
und beide sind nicht diffbar...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ja, ein wenig hatte ich daran auch schon gedacht die Sache so anzugehen, jedoch wollte ich über die stetigkeit der partiellen Ableitungen gehen (habs dann aber doch verworfen !
Dass [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}z(x,y) [/mm] nicht existiert ist klar !
Zumindestens jetzt ! *g*
Daher Danke !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 So 05.06.2005 | | Autor: | fussel1000 |
ich habs ganz anders gemacht ich hab
einfach ganz normal die Ableitung von der Funktion gebildet und dann
die einfach
in den Grenzwert
lim |f(x+h)-f(x)-Ah|/|h| eingesetzt und wenn eine Ableitung existieren
h->0
würde in (0,0) dann wäre dieser grenzwert = 0.
d.h. hab dann einfac für (x,y) = (0,0) eignesetzt weil du
es ja in diesem konkreten Punkt zeigen solltest.
und dabei kommt dann hitnerher raus, dass der Grenzwert gar nicht definiert ist .
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