Nicht-orthogonale Isometrie < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:54 Mi 18.03.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
| Aufgabe | | Finde ein Beispiel eines unendlich dimensionalen Skalarproduktraumes, auf dem eine Isometrie definiert ist, die nicht orthogonal ist. (Eine Abbildung ist orthogonal, wenn für $T: V [mm] \mapsto [/mm] V$ gilt, dass $V$ ein reeller Vektorraum und $T$ eine surjektive Isometrie ist.) |
Hallo,
bei dieser Aufgabe weiß ich nicht so recht, wie ich ansetzen soll. Bei einem unendlich dimensionalen Skalarproduktraum habe ich gedacht an den Vektorraum der unendlichen reellen Folgen $V$ mit dem Skalarprodukt
[mm] $<\sigma, \mu> [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \sigma(i)\mu(i)$,
[/mm]
[mm] $\sigma, \mu \in [/mm] V$.
Nur wie ich jetzt eine nicht-orthogonale Isometrie finden muss, ist mir nicht ganz klar. Es wäre schön, wenn mir hierbei jemand helfen könnte.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Finde ein Beispiel eines unendlich dimensionalen
> Skalarproduktraumes, auf dem eine Isometrie definiert ist,
> die nicht orthogonal ist. (Eine Abbildung ist orthogonal,
> wenn für [mm]T: V \mapsto V[/mm] gilt, dass [mm]V[/mm] ein reeller
> Vektorraum und [mm]T[/mm] eine surjektive Isometrie ist.)
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe weiß ich nicht so recht, wie ich
> ansetzen soll. Bei einem unendlich dimensionalen
> Skalarproduktraum habe ich gedacht an den Vektorraum der
> unendlichen reellen Folgen [mm]V[/mm] mit dem Skalarprodukt
>
> [mm]<\sigma, \mu> = \summe_{i=1}^{\infty} \sigma(i)\mu(i)[/mm],
>
> [mm]\sigma, \mu \in V[/mm].
Damit die obige Reihe konvergiert, solte schon [mm] V=l^2 [/mm] sein, wobei
[mm] l^2:=\{ (\sigma(i)): \sigma(i) \in \IR \ fuer \ alle \ i \in \IN \ und \ \summe_{i=1}^{\infty}\sigma(i)^2 \ konvergent \}.
[/mm]
>
> Nur wie ich jetzt eine nicht-orthogonale Isometrie finden
> muss, ist mir nicht ganz klar.
Wie wärs mit
[mm] $T(\sigma(1), \sigma(2), \sigma(3), [/mm] ....):=(0, [mm] \sigma(1), \sigma(2), [/mm] ...)$ ?
FRED
> Es wäre schön, wenn mir
> hierbei jemand helfen könnte.
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
>
> Wie wärs mit
>
> [mm]T(\sigma(1), \sigma(2), \sigma(3), ....):=(0, \sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm]
> ?
>
Ok, dass diese Abbildung eine Isometrie ist, folgt daraus, dass die Nullfolge im Bild von $T$ die Länge null hat und somit die Länge von [mm] $T(\sigma(1), \sigma(2), [/mm] ...)$ gleich der Länge von $(0, [mm] \sigma(1), \sigma(2), [/mm] ...)$ ist, stimmt's?
Wie zeige ich jetzt, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist? Im unendlich dimensionalen Fall weiß ich nicht, wie man vorgehen muss.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> >
> > Wie wärs mit
> >
> > [mm]T(\sigma(1), \sigma(2), \sigma(3), ....):=(0, \sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm]
> > ?
> >
>
> Ok, dass diese Abbildung eine Isometrie ist, folgt daraus,
> dass die Nullfolge im Bild von [mm]T[/mm] die Länge null hat
Hä ? Ich verstehe kein Wort !
> und
> somit die Länge von [mm]T(\sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm] gleich
> der Länge von [mm](0, \sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm] ist,
> stimmt's?
Zeige dies !
>
> Wie zeige ich jetzt, dass diese Abbildung nicht surjektiv
> ist? Im unendlich dimensionalen Fall weiß ich nicht, wie
> man vorgehen muss.
Ist $(1,0,0,.....) [mm] \in [/mm] T(V)$ ?
FRED
>
> Liebe Grüße.
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> > somit die Länge von [mm]T(\sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm] gleich
> > der Länge von [mm](0, \sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm] ist,
> > stimmt's?
>
> Zeige dies !
Entschuldigung, ich komm gerade nicht weiter.
>
>
> >
> > Wie zeige ich jetzt, dass diese Abbildung nicht surjektiv
> > ist? Im unendlich dimensionalen Fall weiß ich nicht, wie
> > man vorgehen muss.
>
> Ist [mm](1,0,0,.....) \in T(V)[/mm] ?
>
Nein, stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > somit die Länge von [mm]T(\sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm] gleich
> > > der Länge von [mm](0, \sigma(1), \sigma(2), ...)[/mm] ist,
> > > stimmt's?
> >
> > Zeige dies !
>
> Entschuldigung, ich komm gerade nicht weiter.
Wie ist denn die Norm (der Abstand) auf V definiert ?
>
> >
> >
> > >
> > > Wie zeige ich jetzt, dass diese Abbildung nicht surjektiv
> > > ist? Im unendlich dimensionalen Fall weiß ich nicht, wie
> > > man vorgehen muss.
> >
> > Ist [mm](1,0,0,.....) \in T(V)[/mm] ?
> >
>
> Nein, stimmt.
>
FRED
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> Wie ist denn die Norm (der Abstand) auf V definiert ?
>
>
Die Norm eines Elements in [mm] $\sigma \in [/mm] V$ ist
[mm] $\parallel \sigma \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{<\sigma,\sigma>} [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2}$, [/mm] oder?
Was mich, denke ich, irritiert, ist, dass die Abbildung mehrere Inputs hat. Ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Wie ist denn die Norm (der Abstand) auf V definiert ?
> >
> >
>
> Die Norm eines Elements in [mm]\sigma \in V[/mm] ist
>
> [mm]\parallel \sigma \parallel = \wurzel{<\sigma,\sigma>} = \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2}[/mm],
> oder?
Ja, also zeige:
[mm] ||T(\sigma)||=||\sigma|| [/mm] für alle [mm] \sigma \in [/mm] V.
>
> Was mich, denke ich, irritiert, ist, dass die Abbildung
> mehrere Inputs hat.
Was soll das denn bedeuten ????
FRED
> Ich weiß nicht, was ich damit anfangen
> soll.
>
> Liebe Grüße.
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> > >
> > > Wie ist denn die Norm (der Abstand) auf V definiert ?
> > >
> > >
> >
> > Die Norm eines Elements in [mm]\sigma \in V[/mm] ist
> >
> > [mm]\parallel \sigma \parallel = \wurzel{<\sigma,\sigma>} = \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2}[/mm],
> > oder?
>
> Ja, also zeige:
>
> [mm]||T(\sigma)||=||\sigma||[/mm] für alle [mm]\sigma \in[/mm] V.
>
Ok, nächster Versuch:
[mm] $\parallel \sigma \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(\sigma(1), \sigma(2), ...)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(\sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} [/mm] = [mm] \wurzel{(0^2, \sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} [/mm] = [mm] \wurzel{(0, \sigma(1), \sigma(2), ...)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{T(\sigma(1), \sigma(2),...)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{n=1} T(\sigma)(n)^2} [/mm] = [mm] \parallel T(\sigma) \parallel$,
[/mm]
für alle [mm] $\sigma \in [/mm] V$. Durch hinzufügen der 0 am Anfang dürfte sich die Länge der Folge nicht ändern. So?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Do 19.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > >
> > > > Wie ist denn die Norm (der Abstand) auf V definiert ?
> > > >
> > > >
> > >
> > > Die Norm eines Elements in [mm]\sigma \in V[/mm] ist
> > >
> > > [mm]\parallel \sigma \parallel = \wurzel{<\sigma,\sigma>} = \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2}[/mm],
> > > oder?
> >
> > Ja, also zeige:
> >
> > [mm]||T(\sigma)||=||\sigma||[/mm] für alle [mm]\sigma \in[/mm] V.
> >
>
> Ok, nächster Versuch:
>
> [mm]\parallel \sigma \parallel = \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2} = \wurzel{(\sigma(1), \sigma(2), ...)^2} = \wurzel{(\sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} = \wurzel{(0^2, \sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} = \wurzel{(0, \sigma(1), \sigma(2), ...)^2} = \wurzel{T(\sigma(1), \sigma(2),...)^2} = \wurzel{\summe_{n=1} T(\sigma)(n)^2} = \parallel T(\sigma) \parallel[/mm],
Das erste "=" ist völliger Quatsch, das zweite "=" noch völligerer Quatsch. Wie kommt man auf so etwas ????
FRED
>
> für alle [mm]\sigma \in V[/mm]. Durch hinzufügen der 0 am Anfang
> dürfte sich die Länge der Folge nicht ändern. So?
>
> Liebe Grüße.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Do 19.03.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
> >
> > [mm]\parallel \sigma \parallel = \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2} = \wurzel{(\sigma(1), \sigma(2), ...)^2} = \wurzel{(\sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} = \wurzel{(0^2, \sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} = \wurzel{(0, \sigma(1), \sigma(2), ...)^2} = \wurzel{T(\sigma(1), \sigma(2),...)^2} = \wurzel{\summe_{n=1} T(\sigma)(n)^2} = \parallel T(\sigma) \parallel[/mm],
>
> Das erste "=" ist völliger Quatsch, das zweite "=" noch
> völligerer Quatsch. Wie kommt man auf so etwas ????
>
Entschuldige, aber ich bin hier, um konstruktives Feedback zu kriegen, und nicht, um mir vorwerfen zu lassen, dass ich einer der wenigen Menschen bin, die nicht mit all dem mathematischen Wissen geboren wurden. Ich beschäftige mich neben einem nicht-mathematischen Vollzeitstudium noch mit Mathematik und versuche hier Hilfe damit zu bekommen und mich zu verbessern. Das hier ist - bei allem Respekt - keine Hilfe. Ich frage mich, wie man als Erwachsener darauf kommt, jemandem, dem man helfen kann, eine derart unkonstruktive Aussage an den Kopf zu werfen und nicht zu sehen, dass man damit eigentlich nur noch alles schlimmer macht. Wenn man Fehler nicht ertragen kann, sollte man sich nicht mit solchen Foren wie diesem abgeben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Do 19.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > [mm]\parallel \sigma \parallel = \wurzel{\summe_{n=1} \sigma(n)^2} = \wurzel{(\sigma(1), \sigma(2), ...)^2} = \wurzel{(\sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} = \wurzel{(0^2, \sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} = \wurzel{(0, \sigma(1), \sigma(2), ...)^2} = \wurzel{T(\sigma(1), \sigma(2),...)^2} = \wurzel{\summe_{n=1} T(\sigma)(n)^2} = \parallel T(\sigma) \parallel[/mm],
>
> >
> > Das erste "=" ist völliger Quatsch, das zweite "=" noch
> > völligerer Quatsch. Wie kommt man auf so etwas ????
> >
>
> Entschuldige, aber ich bin hier, um konstruktives Feedback
> zu kriegen, und nicht, um mir vorwerfen zu lassen, dass ich
> einer der wenigen Menschen bin, die nicht mit all dem
> mathematischen Wissen geboren wurden. Ich beschäftige mich
> neben einem nicht-mathematischen Vollzeitstudium noch mit
> Mathematik und versuche hier Hilfe damit zu bekommen und
> mich zu verbessern. Das hier ist - bei allem Respekt -
> keine Hilfe. Ich frage mich, wie man als Erwachsener darauf
> kommt, jemandem, dem man helfen kann, eine derart
> unkonstruktive Aussage an den Kopf zu werfen und nicht zu
> sehen, dass man damit eigentlich nur noch alles schlimmer
> macht. Wenn man Fehler nicht ertragen kann, sollte man sich
> nicht mit solchen Foren wie diesem abgeben.
>
1. Ich war bislang an 26 Deiner Diskussionen (einschl. der aktuellen Diskussion) beteiligt. So, nun zähle mal ab, wieviele konstruktiven Antworten Du in all diesen Diskussionen von mir bekommen hast und wieviele, in Deinen Augen, nichtkonstruktive.
Wenn Du das gemacht hast, solltest Du sehen, dass Du absolut keinen Grund hast, zu meckern.
2. Warum hast Du die Ausgangsfrage der aktuellen Diskussion wieder auf "unbeantwortet " gestellt ?
Ein Beispiel nach dem gefragt war, habe ich Dir genannt. Dass der von mir genannte Operator T das Gewünschte leistet, habe ich Dir fast komplett vorgemacht. Was willst Du mehr ?
3. Zum Operator T: Folgen aus [mm] V=l^2 [/mm] bezeichne ich jetzt mal nicht mehr mit [mm] \sigma, [/mm] sondern mit [mm] (a_n). [/mm] Es ist also
[mm] T(a_1,a_2,a_3,...)=(0,a_1,a_2,...).
[/mm]
Da Dir bekannt ist , wie die Norm $||*||$ auf [mm] l^2 [/mm] def. ist, kann man davon ausgehen, dass Dir klar ist:
[mm] ||(a_n)||^2=\summe_{n=1}^{\infty}a_n^2
[/mm]
und
[mm] ||T(a_n)||^2=||(0,a_1,a_2,...)||=0^2+a_1^2+a_2^2+.... =\summe_{n=1}^{\infty}a_n^2.
[/mm]
Und Bingo: [mm] ||a_n||=||T(a_n)||.
[/mm]
Zufrieden ?
4. Ist Dir beim Schreiben von
[mm] \wurzel{(\sigma(1), \sigma(2), ...)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(\sigma(1)^2, \sigma(2)^2, ...)} [/mm]
nicht etwas unwohl gewesen ? Die linke und die rechte Seite dieser Gleichung haben überhaupt keinen Sinn !
Es grüßt Dich FRED, in Zukunft nur noch behutsam konstruktiv....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Do 19.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Frage ist mehr als beantwortet !
FRED
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