Nicht-abelsche Gruppe: Aussage < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:23 Do 29.01.2015 | | Autor: | danooh |
| Aufgabe | Es sei G eine abelsche Gruppe, welche auf der Menge M operiert.
(i) G operiert regulär auf M [mm] \gdw [/mm] G operiert transitiv und treu auf M
Gilt die Aussage (i) auch für nicht-abelsche Gruppen?
Beweise dies oder finde ein Gegenbeispiel. |
Aussage (i) habe ich in einem anderen Aufgabenteil bereits gezeigt.
Ich gehe davon aus, dass (i) im Falle einer nicht-abelsche Gruppen nicht gilt.
Nur leider tue ich mich mit dem Gegenbeispiel schwer.
Ich dachte an die Gruppe [mm] S_{3} [/mm] als nicht abelsche Gruppe.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Do 29.01.2015 | | Autor: | hippias |
Die Aussage 1) ist doch falsch. Ich betrachte Menge $X:= [mm] \{1,2\}$ [/mm] mit symmetrischer Gruppe $S:= S(X)$. $S$ ist transitiv auf $X$ und abelsch. Das direkte Produkt [mm] $G:=S\times [/mm] S$ ist dann ebenfalls abelsch. Ich definiere die Operation von $G$ auf $X$ durch [mm] $x^{(\sigma, \tau)}:= x^{\sigma}$, [/mm] wobei [mm] $\sigma,\tau\in [/mm] S$. Das ist die Einschränkung auf den ersten Faktor im direkten Produkt.
Dies ist eine Gruppenoperation, die die Transitivitaet von $S$ erbt. Die Operation ist aber offensichtlich nicht treu, weil [mm] $x^{(id, \tau)}:= [/mm] x$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] X$ und alle [mm] $\tau\in [/mm] S$ gilt, sodass der Kern der Operation [mm] $\{(id, \tau)| \tau\in S\}>1$ [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Do 29.01.2015 | | Autor: | danooh |
Vielen Dank für deine Antwort.
Da ich den Post zu so später Uhrzeit erstellt habe, ist mir leider ein Fehler beim Abtippen unterlaufen -.- Entschuldige bitte !
Aussage (i) soll natürlich lauten:
G operiert regulär auf M [mm] \gdw [/mm] G operiert transitiv und treu auf M
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Do 29.01.2015 | | Autor: | danooh |
Ok habe das Gegenbeispiel nun:
Sei G:= [mm] S_{3} [/mm] und [mm] M:=\{1,2,3\}
[/mm]
Dann operiert [mm] S_{3} [/mm] transitiv und treu auf M.
ABER die Operation ist nicht regulär,
da bspw. [mm] \{1\} [/mm] zwei Stabilisatoren hat:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] die Identität
und
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2} [/mm] diese Spiegelung
Hoffe das stimmt so.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Sa 31.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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