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| Aufgabe | Seien [mm] $\theta_0,\theta_1\in\mathbb{R},\theta_1\neq\theta_0$. [/mm] Sei [mm] $\Theta=\{0,1\}$ [/mm] und [mm] $P_0:=\otimes_{i=1}^n\mathcal{N}(\theta_1,1),\,P_1:=\otimes_{i=1}^n\mathcal{N}(\theta_0,1)$ [/mm] mit Dichten [mm] $p-0,p_1$. [/mm] Wir betrachten [mm] $H_0:\theta=\theta_0$ [/mm] gegen [mm] $\theta=\theta_1$.\\
[/mm]
Bestimmen Sie einen Test [mm] $\varphi$ [/mm] mit
[mm] $E_0[\varphi]=\alpha$ [/mm] und [mm] $$\varphi(x):=\begin{cases}1,&\{p_1(x)>k\cdot p_0(x)\}\\0,&\{p_1(x)
Bestimmen Sie $k$ als Funktion von [mm] $\theta_0,\theta_1,n$ [/mm] und einem geeigneten Quantil $z$. |
Guten Abend,
ich habe mir einiges zu der oben stehenden Aufgabe überlegt, und wollte um ein kleines Feedback bitten, ob das so passt:
Wir betrachten die Teststatistik [mm] $T(x):=\frac{p_0(x)}{p_1(x)}$, [/mm] dann erhalten wir wegen
[mm] $$p_j(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_j)^2\right)$$ergibt [/mm] sich:
[mm] $$T(x)=\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\left((x_i-\theta_1)^2-(x_i-\theta_0)^2\right)\right)=\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\left(x_i^2-2x_i\theta_1+\theta_1^2-x_i^2+2x_i\theta_0-\theta_0^2\right)\right)=\exp\left(-\frac{1}{2}\left(2n(\theta_0-\theta_1)\bar{x}+\theta_1^2-\theta_0^2\right)\right)$$
[/mm]
Für [mm] $c\in\mathbb{R}$ [/mm] gilt nun:
[mm] $$T(x)>c\Leftrightarrow \bar{x}>\frac{2\ln(c)+\theta_1^2-\theta_0^2}{2n(\theta_1-\theta_0)}=:a(c,n,\theta_0,\theta_1)$$
[/mm]
(Hier wurde o.B.d.A. [mm] $\theta_0<\theta_1$ [/mm] verwendet, damit [mm] $\theta_0-\theta_1>0$).
[/mm]
Definiere nun für [mm] $k\in\mathbb{R}$:
[/mm]
[mm] $$\varphi_k(x):=\begin{cases}1,&\text{für }\bar{x}>a(k,n,\theta_0,\theta_1)\\0,&\text{für }\bar{x}
Wir wollen $k$ nun so bestimmen, dass [mm] $E_0[\varphi]=\alpha$ [/mm] gilt (für ein [mm] $\alpha\in[0,1]$ [/mm] vorgegeben).
Es ist [mm] $E_0[\varphi]=\mathbb{P}_0(\bar{x}>a(k,n,\theta_0,\theta_1))\overset{!}{=}\alpha$. [/mm] Ferner gilt unter [mm] $H_0$: $\bar{x}\sim\mathcal{N}\left(\theta_0,\frac{1}{n}\right)$.
[/mm]
Bezeichne [mm] z^n_{1-\alpha}$ [/mm] nun das [mm] $(1-\alpha)$-Quantil [/mm] von [mm] $\mathcal{N}\left(\theta_0,\frac{1}{n}\right)$, [/mm] dann gilt wegen
[mm] $\alpha=\mathbb{P}_0(\bar{x}>a(k,n,\theta_0,\theta_1))=1-\Phi(a(k,n,\theta_0,\theta_1))$, [/mm] mit [mm] $\Phi$ [/mm] Verteilungsfkt. von [mm] $\mathcal{N}\left(\theta_0,\frac{1}{n}\right)$:
[/mm]
[mm] $z^n_{\alpha-1}=a(k,n,\theta_0,\theta_1))\Leftrightarrow k=\exp\left(-\frac{1}{2}\left(2n(\theta_0-\theta_1)z^n_{1-\alpha}+\theta_1^2-\theta_0^2\right)\right)=:k(z_{1-\alpha}^n,\theta_0,\theta_1)$.
[/mm]
Ferner hätte ich für [mm] $\varphi: [/mm]
[mm] $$\varphi(x):=\begin{cases}1,&\{p_1(x)>k(z_{1-\alpha}^n,\theta_0,\theta_1)\cdot p_0(x)\}\\0,&\{p_1(x)
Stimmt das, was ich mir überlegt habe?
Vielen Dank
HugATree
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Mi 04.11.2015 | | Autor: | HugATree |
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich das Thema leider im falschen Forum gestellt habe (in Schulmathe). Ist es noch möglich das Thema in "Mathematik>Hochschule>Stochastik>Mathematische Statistik" zu verschieben?
Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 04.11.2015 | | Autor: | moody |
> Mir ist gerade aufgefallen, dass ich das Thema leider im
> falschen Forum gestellt habe (in Schulmathe). Ist es noch
> möglich das Thema in
> "Mathematik>Hochschule>Stochastik>Mathematische Statistik"
> zu verschieben?
So eben geschehen :)
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Fr 06.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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