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Wer kann mit das Tagentenverfahren von Newton an hand der gleich ung g(x)=6-x-e^-x
erklären??
Merci
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> Wer kann mit das Tagentenverfahren von Newton an hand der
> gleich ung [mm] g(x)=6-x-e^{-x}
[/mm]
> erklären??
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) Hier ist das Verfahren mit Animation vorgestellt, und auch ein Beispiel vorgerechnet.
Das Verfahren dient dazu, die Nullstelle einer Funktion näherungsweise zu berechnen. Solche Näherungen benötigt man oft, denn es gibt viele Gleichungen, die nicht oder nur mit nicht zu vertretendem Aufwand exakt zu lösen sind.
Der Gedanke ist, die Funktion an einem Punkt durch ihre Tangente anzunähern, deren Nullstelle zu bestimmen, welche man als neuen Startwert nimmt. In "glücklichen Fällen" nähert man sich so der Nullstelle der Funktion.
Um das Verfahren für Deine Funktion g(x) durchzuführen, brauchst Du erstmal die 1.Ableitung g'(x).
Dann nimmst Du Dir einen Startwert [mm] x_0 [/mm] - vorzugsweise nicht allzuweit von der vermuteten Nullstelle - und berechnest
[mm] x_0-\bruch{g(x_0)}{g'(x_0)}=x_1.
[/mm]
Das Ergebnis, [mm] x_1, [/mm] ist der Wert, welchen Du nun als nächstes einsetzt:
[mm] x_1-\bruch{g(x_1)}{g'(x_1)}=x_2,
[/mm]
jetzt setzt Du [mm] x_2 [/mm] ein und immer so weiter.
Wenn's gut läuft, werden sich ab einem Wert die errechneten x nicht mehr nennenswert unterscheiden, dann hast Du eine Näherung für die Nullstelle gefunden.
Du kannst das überprüfen, indem Du Deine Näherung in g(x) einsetzt, es müßte (nahezu) 0 herauskommen.
Gruß v. Angela
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