Newton Verfahren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] gegeben durch
f(x,y) = [mm] f(n)=\begin{cases} x^2+y^2-4, & \mbox{ } \mbox{ } \\ 2x-y^2, & \mbox{} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Losen Sie das Gleichungssystem f(x; y) = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] approximativ mittels 2 Iterationen des Newton-
Verfahrens mit dem Startwert [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] = (1,1) |
Meine Loesung:
[mm] Jakobi_{f}(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ 2x & 2y \\ 2 & -2y }
[/mm]
Newton Verfahren:
[mm] \vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=\vektor{x_{n} \\ y_{n}} [/mm] - [mm] Jakobi^-1*f(\vektor{x_{n} \\ y_{n}})
[/mm]
=>
[mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] - [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 2 & -2 }^{-1} *\vektor{2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{-0.25 \\ -0.75} [/mm] = [mm] \vektor{1.25 \\ 1.75}
[/mm]
Und jetzt meine Frage: ist bis jetzt alles korrekt? Und wenn ja, wie soll ich es weitermachen?? Ich habe gedacht, dass x1=1.25 und y1=1.75 und diese Werte soll ich in Formel einsetzen und das waere 2.Iteration, aber bin ich nicht sicher.
Danke euch Leute im Voraus
|
|
| |
|
Hallo Melisa,
> Sei f : [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]R^2[/mm] gegeben durch
>
> f(x,y) = [mm]f(n)=\begin{cases} x^2+y^2-4, & \mbox{ } \mbox{ } \\ 2x-y^2, & \mbox{} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
Das ist wohl eher so gemeint::
[mm]f\left(x,y\right):=\pmat{x^{2}+y^{2}-4 \\ 2x-y^{2}}[/mm]
> Losen Sie das Gleichungssystem f(x; y) = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> approximativ mittels 2 Iterationen des Newton-
> Verfahrens mit dem Startwert [mm](x_{0},y_{0})[/mm] = (1,1)
> Meine Loesung:
>
> [mm]Jakobi_{f}(x,y)[/mm] = [mm]\pmat{ 2x & 2y \\ 2 & -2y }[/mm]
>
> Newton Verfahren:
> [mm]\vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm] -
> [mm]Jakobi^-1*f(\vektor{x_{n} \\ y_{n}})[/mm]
>
> =>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] - [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 2 & -2 }^{-1} *\vektor{2 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{-0.25 \\ -0.75}[/mm] = [mm]\vektor{1.25 \\ 1.75}[/mm]
>
> Und jetzt meine Frage: ist bis jetzt alles korrekt? Und
Ja, das ist bis jetzt korrekt.
> wenn ja, wie soll ich es weitermachen?? Ich habe gedacht,
> dass x1=1.25 und y1=1.75 und diese Werte soll ich in Formel
> einsetzen und das waere 2.Iteration, aber bin ich nicht
> sicher.
Genau das sollst Du machen.
> Danke euch Leute im Voraus
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | | [mm] \vektor{x_{2} \\ y_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1.25 \\ 1.75}-\pmat{ 2 & 2 \\ 2 & -2 }^{-1}*\vektor{1.5625+3.0625-4 \\ 2.5-3.0625}=\vektor{1.25 \\ 1.75}-\pmat{ 0.25 & 0.25 \\ 0.25 & -0.25 }*\vektor{0.625 \\ -0.5625} [/mm] = [mm] \vektor{1.25 \\ 1.75} [/mm] - [mm] \vektor{0.25*0.625+0.25*(-0.5625) \\ 0.25*0.625+(-0.25)*(-0.5625)}=\vektor{1.25 \\ 1.75}-\vektor{0.15625-0.140625 \\ 0.15625+0.140625}=\vektor{1.25\\ 1.75}-\vektor{0.015625 \\ 0.296875}=\vektor{1.234375\\ 1.453125} [/mm] |
Vielen vielen Dank MathePower fuer Deine schnelle Antwort. Sorry
Ich haette noch eine Frage, ist der 2. Teil auch korrekt? Und ist die Aufgabe schon fertig??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mi 20.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\vektor{x_{2} \\ y_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{1.25 \\ 1.75}-\pmat{ 2 & 2 \\ 2 & -2 }^{-1}*\vektor{1.5625+3.0625-4 \\ 2.5-3.0625}=\vektor{1.25 \\ 1.75}-\pmat{ 0.25 & 0.25 \\ 0.25 & -0.25 }*\vektor{0.625 \\ -0.5625}[/mm]
> = [mm]\vektor{1.25 \\ 1.75}[/mm] - [mm]\vektor{0.25*0.625+0.25*(-0.5625) \\ 0.25*0.625+(-0.25)*(-0.5625)}=\vektor{1.25 \\ 1.75}-\vektor{0.15625-0.140625 \\ 0.15625+0.140625}=\vektor{1.25\\ 1.75}-\vektor{0.015625 \\ 0.296875}=\vektor{1.234375\\ 1.453125}[/mm]
Deine Rechnung ist falsch.
Das Newton-Verfahren ist wie folgt definiert: [mm] x_{n+1}=x_n-(J_{f}(x_n))^{-1}\cdot f(x_n).
[/mm]
[mm] x_1=\vektor{\bruch{5}{4} \\ \bruch{7}{4}}=\vektor{1.25 \\ 1.75} [/mm] stimmt nach der Korrektur von leduart.
Du hast für [mm] x_2 [/mm] gerechnet:
[mm] x_2=x_1-(J_{f}(x_0))^{-1}\cdot f(x_1)
[/mm]
Es muss aber heißen:
[mm] x_2=x_1-(J_{f}(x_1))^{-1}\cdot f(x_1) [/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Do 21.11.2013 | | Autor: | Melisa |
Danke DieAcht,
ich habe es schon so gemacht wie du gesagt hast.
Danke nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mi 20.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mir fällt auf, dass [mm] f(1,1=(-2,1)^T [/mm] bei dir nicht stimmt, was hast du für [mm] Jakobi^{-1} [/mm] raus?
dein Verfahren ist richtig, jetzt einfach (x1,y1 ) wieder einsetzen für den 2 ten Schritt
aber dein Ergebnis scheint zu stimmen aber rechne lieber nach oder poste die ausführliche Rechnung
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Melisa |
Hallo leduart,
ja du hast Recht, minus habe ich vergessen und jetzt muss ich alles nochmal rechnen :(:(
Fuer [mm] Jakobi^{-1} [/mm] habe ich [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 2 & -2 }^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0.25 & 0.25 \\ 0.25 & -0.25 }
[/mm]
|
|
|
|
