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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Will man eine Nullstelle einer Funktion f:R->R finden, so kann man die Gleichung [mm] F(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)} [/mm] bestimmen. Um einen solchen Fixpunkt von F zu berechnen, kann man die Gleichung F(x)-x=0 mit dem Newton-Verfahren lösen.
was ist in diesem Falle die Formel zur Berechnung der Iterationsfolge [mm] (x^{(k)})_{k\inN} [/mm] ? |
Hi!
Habt ihr einen Tip für mich zu dieser Aufgabe? wenn f(x)=0 ist, dann hab ich ja das gleiche wie F(x)-x=0. aber ich komm irgendwie nicht weiter...
Die Newton Formel ist ja: [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] x^{(k)} [/mm] - [mm] \frac{f(x^{(k)})}{ f'(x^{(k)})}. [/mm] und wenn ich eine formel zu der funktion in der aufgabe angeben soll, ist es dann so :
[mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] x^{(k)} [/mm] - [mm] \frac{F(x)-x}{F'(x) - 1} [/mm] ??
viele grüße
riley
schon gefragt: http://www.matheboard.de
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Hallo nochmal,
Ich nehme mal an Du sollst das ganze in Abhängigkeit von klein f darstellen sonst gibt das imho keinen Sinn. Dann heißt es einsetzen und rechnen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn  ,
hmm, ich seh den sinn der aufgabe noch nicht wirklich...
wie meinst du in abhängigkeit von f?
ich kann das ganze nach f auflösen: f(x)=x-F(x)*f'(x), aber das kann ich ja dann nirgends einsetzen... ??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
In Deiner Formel
[mm] $x^{(k+1)} [/mm] = [mm] x^{(k)} [/mm] - [mm] \frac{F(x)-x}{F'(x) - 1}$ [/mm]
kannst Du ja
[mm] F(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
einsetzen. Da kommt dann wohl eine Vorschrift raus die die 2. Ableitung enthält
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 So 19.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
ahsoo... d.h.
[mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] x^k [/mm] - [mm] \frac{ \frac{f(x)}{f'(x)} }{ \frac{f'(x)}{f''(x)} } [/mm] = [mm] x^k [/mm] - [mm] \frac{f(x)}{f'(x)} \cdot \frac{f''(x)}{f'(x)}
[/mm]
hmm... ist das die gesuchte vorschrift? d.h. ziel der aufgabe ist es einfach eine formel für NSberechnung zu bekommen, die nur f und deren ableitungen erhält? aber eigentlich weiß man doch gar nicht ob f zweimal diffbar ist?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 So 19.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
> Hi Mathemaduenn,
>
> ahsoo... d.h.
> [mm]x^{k+1}[/mm] = [mm]x^k[/mm] - [mm]\frac{ \frac{f(x)}{f'(x)} }{ \frac{f'(x)}{f''(x)} }[/mm]
> = [mm]x^k[/mm] - [mm]\frac{f(x)}{f'(x)} \cdot \frac{f''(x)}{f'(x)}[/mm]
>
> hmm... ist das die gesuchte vorschrift? d.h. ziel der
> aufgabe ist es einfach eine formel für NSberechnung zu
> bekommen, die nur f und deren ableitungen erhält? aber
> eigentlich weiß man doch gar nicht ob f zweimal diffbar
> ist?
1. die Ableitung von f/f' ist sicher nicht f'/f''!!
D.h. deine Formel ist falsch!
2. woher weisst du , dass es einmal diffb. ist?
das setzt man für das Verfahren dann wohl vorraus! (und da wo mans braucht, ists auch meist erfüllt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 So 19.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi,
ops, die quotientenregel hab ich glatt nicht beachtet.
also F'(x) = 1 - [mm] \frac{f'(x) f'(x) - f(x) f''(x)}{(f'(x))^2} [/mm] = [mm] \frac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}
[/mm]
und eingesetzt:
[mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] x^{(k)} [/mm] - [mm] \frac{ -\frac{f(x)}{f'(x)} }{ \frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f'(x))^2} } [/mm] = [mm] x^{(k)} [/mm] + [mm] \frac{ f(x) f'(x)}{f(x) f''(x) - (f'(x))^2}
[/mm]
stimmt diese formel nun? kann man das noch schöner schreiben?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 So 19.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo riley
Richtig und keine Verschönerung möglich.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 So 19.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart,
vielen dank für deine hilfe.
gruß riley
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