Newton-Verfahren Konvergenz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 So 29.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen!
Ich habe da ein kleines Problemchen zum Newton-Verfahren. Man hat uns alte Klausuraufgaben aufgebrummt, wobei ich bei einer Aufgabe nicht so recht weiterkomme und ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Also, die Aufgabe lautet in etwa so:
Wir wissen, dass das Newton-Verfahren zum skalaren Nullstellenproblem [mm]f(x)=0[/mm] (lokal) quadratisch gegen die Nullstelle [mm]x^{\*}[/mm] konvergiert, wenn [mm]f'(x^{\*}) \not= 0[/mm] gilt. Zeigen Sie, dass im Fall [mm]f'(x^{\*})=0[/mm], [mm]f''(x^{\*}) \not= 0[/mm] und [mm]f \in C^{3}[/mm] für das Iterationsverfahren [mm]x_{k+1}=x_{k} - 2* \bruch{f(x_{k})}{ f'(x_{k})}[/mm] das folgende gilt: Falls das Verfahren gegen [mm]x{*}[/mm] konvergiert, so liegt (lokal) quadratische Konvergenz vor.
Ich habe leider hierzu keinen Ansatz, weil ich gar nicht weiß, wie ich das zeigen könnte. Habe es mal über die Taylorentwicklung probiert, weiß aber nicht, ob ich so rangehen kann!?
Vielleicht weiß ja jemand einen besseren Ansatz. Im voraus schon einmal vielen Dank für alle Bemühungen!
Joergi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Joergi!
Das folgt doch sofort aus dem allgemeinen Konvergenzssatz für Fixpunktverfahren, oder etwa nicht?
Sei $F: [a,b]$ $p$-mal stetig differenzierbar für ein $p [mm] \in \IN$. [/mm] Sei [mm] $x^{\*} \in [/mm] [a,b]$ ein Fixpunkt von $F$. Ist [mm] $F'(x^{\*})= \ldots F^{(p-1)}(x^{\*})=0$ [/mm] und [mm] $F^{(p)}(x^{\*})\ne [/mm] 0$, so hat das Iterationsverfahren [mm] $x_{k+1}=F(x_k)$ [/mm] die genaue Ordnung $p$, falls $p [mm] \ge [/mm] 2$ ist, und die genaue Ordnung $1$, wenn $p=1$ und [mm] $|F'(x^{\*})|<1$ [/mm] ist.
Stelle jetzt die entsprechende Fixpunktgleichung auf und überprüfe die Bedingung.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 31.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo Julius,
erst einmal vielen Dank für Deine Mühen, jedoch fürchte ich, dass ich nicht so recht verstehe was Du mit Deinem Ansatz meinst, habe Rücksprache mit jemanden gehalten, der die gleiche Aufgabe lösen muss wie ich, jedoch kommt er auch nicht mit Deinem Ansatz weiter. Deswegen möchte ich noch mal nachfragen.
Was meinst Du mit Fixpunktgleichung aufstellen einerseits, und wie muss ich da ansetzen, und welche Bedingungen muss ich überprüfen andererseits!? Sprichst Du vom Banachschen-Fixpunktsatz? Wenn ja, wie muss ich dann hier ansetzen? Wäre schön, wenn Du mir noch mal weiterhelfen könntest! Im voraus, danke! 
Gruß
Joergi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Joergi!
Naja, was ich meinte, ist halt Folgendes:
Für die Iterationsfunktion:
$F(x) = x - [mm] \frac{f(x)}{f'(x)}$ [/mm] $(x [mm] \ne x^{\*})$,
[/mm]
[mm] $F(x^{\*}) [/mm] = [mm] x^{\*}$:
[/mm]
gilt bei einer zweifachen Nullstelle [mm] $x^{\*}$ [/mm] eben
[mm] $F'(x^{\*}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \ne [/mm] 0$.
Dagegen gilt für die Iterationsfunktion
[mm] $F_2(x) [/mm] = x - 2 [mm] \frac{f(x)}{f'(x)}$ [/mm] $(x [mm] \ne x^{\*})$,
[/mm]
[mm] $F_2(x^{\*}) [/mm] = [mm] x^{\*}$:
[/mm]
[mm] $F_2'(x^{\*}) [/mm] = 0$,
und es liegt (lokale) quadratische Konvergenz vor.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
