Newton-V: Mehrdimensional < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Sa 30.08.2014 | | Autor: | ttl |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion [mm] F:\IR^{2} \mapsto \IR^{2}, \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto \vektor{x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \\ 2x_{1}x_{2}}.
[/mm]
1. Geben Sie die Newton-Iterationsvorschrift [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \phi(x^{(k)}) [/mm] zum Lösen dieser Gleichung an.
2. Führen Sie zwei Iterationsschritte mit dem Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] durch. |
Hi,
wenn man das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalem verwendet, macht man sich die Jacobi Matrix zu nutze. Dabei gehe ich wie in diesem ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel beschrieben vor.
Die Gleichung lautet wie folgt:
[mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \phi(x^{(k)}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}^{(k)} \\ x_{2}^{(k)}} [/mm] - [mm] DF(x^{(k)})^{-1}\cdot F(x^{(k)})
[/mm]
wobei DF = [mm] \pmat{2x_{1} & -2x_{2} \\ 2x_{2} & 2x_{1}}
[/mm]
Für DF mit dem Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] gilt: DF = [mm] \pmat{2 & -2 \\ 2 & 2}. [/mm] Die Inverse von DF ist
[mm] DF(x^{(0)})^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}}
[/mm]
[mm] F(x^{(0)}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2}
[/mm]
=> [mm] DF^{-1}\cdot [/mm] F = [mm] \vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}}
[/mm]
=> [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
Laut Musterlösung gilt nach dem ersten Iterationsvorschrift [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Seht ihr den Fehler, also sprich habe ich etwas falsch gemacht oder habe ich mich sogar verrechnet. Denn ich sehe den Fehler nicht.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Gruß
ttl
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Hallo ttl,
> Wir betrachten die Funktion [mm]F:\IR^{2} \mapsto \IR^{2}, \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto \vektor{x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \\ 2x_{1}x_{2}}.[/mm]
>
> 1. Geben Sie die Newton-Iterationsvorschrift [mm]x^{(k+1)}[/mm] =
> [mm]\phi(x^{(k)})[/mm] zum Lösen dieser Gleichung an.
>
> 2. Führen Sie zwei Iterationsschritte mit dem Startwert
> [mm]x^{(0)}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] durch.
> Hi,
>
> wenn man das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalem
> verwendet, macht man sich die Jacobi Matrix zu nutze. Dabei
> gehe ich wie in diesem
> Wikipedia-Artikel
> beschrieben vor.
>
> Die Gleichung lautet wie folgt:
>
> [mm]x^{(k+1)}[/mm] = [mm]\phi(x^{(k)})[/mm] = [mm]\vektor{x_{1}^{(k)} \\ x_{2}^{(k)}}[/mm]
> - [mm]DF(x^{(k)})^{-1}\cdot F(x^{(k)})[/mm]
>
> wobei DF = [mm]\pmat{2x_{1} & -2x_{2} \\ 2x_{2} & 2x_{1}}[/mm]
>
> Für DF mit dem Startwert [mm]x^{(0)}[/mm] gilt: DF = [mm]\pmat{2 & -2 \\ 2 & 2}.[/mm]
> Die Inverse von DF ist
> [mm]DF(x^{(0)})^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]F(x^{(0)})[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>
> => [mm]DF^{-1}\cdot[/mm] F = [mm]\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}}[/mm]
> =>
> [mm]x^{(k+1)}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Laut Musterlösung gilt nach dem ersten
> Iterationsvorschrift [mm]x^{(k+1)}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
Dann ist die Musterlösung vielleicht
von einem anderen Startwert ausgegangen.
> Seht ihr den Fehler, also sprich habe ich etwas falsch
> gemacht oder habe ich mich sogar verrechnet. Denn ich sehe
> den Fehler nicht.
>
Deine Berechnungen sind alle richtig.
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen
> könnte.
>
> Gruß
> ttl
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 30.08.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich sehe das anders als MathePower. Zunächst ist die Inverse
zu bilden und erst dann wird der Startvektor eingesetzt. Das
ist allerdings bei diesem Startvektor nicht möglich, da wir
im Nenner durch Null teilen würden. Schreib dir das mal genau
auf. Erst die erste und dann die zweite Teilaufgabe.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Sa 30.08.2014 | | Autor: | ttl |
Hi DieAcht,
wenn ich mir aber die Formel auf Wikipedia.de anschaue, sieht es eher danach aus, als müsse man zuerst den Startwert einsetzen und dann die Inverse bilden.
[mm] (J(x_{n}))^{-1} [/mm] So steht es zumindest auf wikipedia
Gruß
ttl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 30.08.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hi DieAcht,
>
> wenn ich mir aber die Formel auf Wikipedia.de anschaue,
> sieht es eher danach aus, als müsse man zuerst den
> Startwert einsetzen und dann die Inverse bilden.
>
> [mm](J(x_{n}))^{-1}[/mm] So steht es zumindest auf wikipedia
Ja, hierbei ist [mm] x_n [/mm] "allgemein". Das ist auch die Aufgabe 1).
Dann beginnst du bei [mm] x_0 [/mm] und links steht [mm] x_1. [/mm] Alles klar?
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:13 Sa 30.08.2014 | | Autor: | MathePower |
Hallo DieAcht,
> Hallo,
>
>
> Ich sehe das anders als MathePower. Zunächst ist die
> Inverse
> zu bilden und erst dann wird der Startvektor eingesetzt.
> Das
> ist allerdings bei diesem Startvektor nicht möglich, da
> wir
> im Nenner durch Null teilen würden. Schreib dir das mal
> genau
> auf. Erst die erste und dann die zweite Teilaufgabe.
>
>
Die Jacobi-Matrix lautet:
[mm]\[\begin{pmatrix}2\,x1 & -2\,x2\cr 2\,x2 & 2\,x1\end{pmatrix}\][/mm]
Die Inverse davon:
[mm]\[\begin{pmatrix}\frac{2\,x1}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}} & \frac{2\,x2}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}}\cr -\frac{2\,x2}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}} & \frac{2\,x1}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}}\end{pmatrix}\][/mm]
Bei dem gegebenen Startvektor ist sehr wohl der Nenner von 0 verschieden.
> Gruß
> DieAcht
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 So 31.08.2014 | | Autor: | weduwe |
ich kann dein ergebnis (wie MP) auch nur bestätigen
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