Newton-Iteration < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo! Ich und mein Gruppenübungspartner kommen bei einer Aufgabe nicht weiter! Und wir würden uns freuen, wenn uns da jemand helfen könnte. Es geht da um das Newton-Verfahren bzw. die Newton-Iteration.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
| Aufgabe | Sei f ∈ C1[a, b] streng konvex, d.h. f′ wächst streng monoton, und
sei f(a) < 0 < f(b).
Zeige:
(a) f besitzt genau eine Nullstelle x∗ ∈ [a, b].
(b) Die Newton-Iteration mit beliebigem Startwert x(0) ∈ [x∗, b] konvergiert monoton gegen
die Nullstelle x∗. |
Mit der dem Aufgabenteil a) hatten wir keine Schwierigkeiten. Nur bei b) wissen wir nicht so recht, wie wir die Konvergenz zeigen sollen.
Es wäre cool, wenn uns da jemand nen Ansatz geben könnte! Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und guten Abend,
versucht doch das zu zeigen, was man anschaulich schon sieht: Dass die neue Stelle [mm] x_{i+1} [/mm] auch [mm] \geq [/mm] x^* ist, und zwar
[mm] x^*\leq [/mm] x-{i+1}< [mm] x_i [/mm] falls [mm] x_i [/mm] >x^*.
Und die Tangente wird ja von Iteration zu Iteration immer flacher, auch das würd ich in Verbuindung damit verwenden, wie weit man noch von
x^* weg ist.
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Do 13.07.2006 | | Autor: | Eric1684 |
Hmm, also die Tangenten werden doch eigentlich steiler und nicht flacher oder? Was man zeigen könnte ist wohl, dass die x(k) eine cauchy-folge bilden. Dann hab ich aber irgendwie immer noch nicht so die idee, wie ich die Konvergenz gegen die nullstelle zeige.
Mir kam gerade aber eine andere idee: Ich könnte ja den Banachschen Fixpunktsatz benutzen. Ich zeige, dass die Newton-Iteration eine Kontraktion ist und dass der Fixpunkt genau der Nullstelle entspricht. Nach dem Fixpunktsatz weiß ich ja dann, dass die Folge gegen den Fixpunkt konvergiert. Geht das so oder hab ich da was übersehen?
|
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
ja klar, mit Banach kann man das probieren.
Die Tangenten werden im uebrigen nach rechts hin steiler, also damit, wenn man von rechts nach links hin sich bewegt, von Schritt zu Schritt flacher.
Gruss,
Mathias
ps. Das laesst einen ein bisschen zweifeln, ob das mit der Kontraktion so geht, weil im flachen Bereich die Schritte groesser werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 15.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
