Neue Definition < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:18 Mi 16.01.2013 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Die bekannte Definition:
Eine Erzeugermenge einer Gruppe ist eine Teilmenge der Gruppe so dass sich jedes Gruppenelement als Kombination (unter der Gruppenoperation) endlich vieler Elemente dieser Teilmenge und ihrer inverser darstellen läßt. |
Wurde in der Literatur folgende erweiterte Definition schon untersucht?
Eine Erzeugermenge einer Gruppe der Ordnung k ist eine Teilmenge der Gruppe so dass sich jedes Gruppenelement als Kombination (unter der Gruppenoperation) von maximal k Elementen dieser Teilmenge und ihrer inverser darstellen lässt.
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> Die bekannte Definition:
> Eine Erzeugermenge einer Gruppe ist eine Teilmenge der
> Gruppe so dass sich jedes Gruppenelement als Kombination
> (unter der Gruppenoperation) endlich vieler Elemente dieser
> Teilmenge und ihrer inverser darstellen läßt.
>
> Wurde in der Literatur folgende erweiterte Definition schon
> untersucht?
>
>
> Eine Erzeugermenge einer Gruppe der Ordnung k ist eine
> Teilmenge der Gruppe so dass sich jedes Gruppenelement als
> Kombination (unter der Gruppenoperation) von maximal k
> Elementen dieser Teilmenge und ihrer inverser darstellen
> lässt.
Hi wauwau !
ich hatte schon sehr lange nicht mehr mit Gruppentheorie
zu tun und kann deshalb deine Frage nicht beantworten.
Aber ich habe eine Gegenfrage:
Was versprichst du dir von einer solchen Definition ?
In welchem Zusammenhang bist du auf die Idee dazu
gekommen ?
LG , Al
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moin,
Ich weiß auch nicht, in wie weit der Begriff bereits untersucht wurde, aber falls du vorhast etwas in die Richtung rumzubasteln ein paar Tipps:
1. Die klassische Erzeugendenmenge hat den Vorteil, dass das Erzeugnis einer beliebigen Teilmenge einer Gruppe selbst wieder eine Gruppe ist.
Bei deiner Definition verlierst du das, denn die Abgeschlossenheit ist i.A. nicht gewährleistet - Gegenbeispiele findest du leicht, wenn du etwa das $1-$Erzeugnis einer Menge nimmst, die nicht abgeschlossen ist, zB [mm] $\langle [/mm] 1 [mm] \rangle_1 \subseteq \IZ_4$ [/mm] - Notationen sind hoffentlich verständlich.
Gegenbeispiele für beliebig große $k$ findest du etwa, wenn du bedenkst, dass die [mm] $S_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] von nur zwei Elementen erzeugbar (im klassischen Sinne) ist.
2. Du musst aufpassen, wie du "erzeugbar von $k$ Elementen" genau definierst.
Dürfen Elemente mehrfach auftreten?
Zählst du das dann nur als ein Element oder zählst du mit Vielfachheiten?
Als Beispiele etwa wieder die [mm] $S_n$, [/mm] um hier alles mit zwei Elementen zu erzeugen, müssen diese mehrfach in den Linearkombinationen auftreten.
Als kommutatives Beispiel [mm] $\IZ$. [/mm] Die ganzen Zahlen werden (als additive Gruppe) von der $1$ erzeugt; du musst diese und ihr Inverses aber sehr oft verknüpfen, um alle ganzen Zahlen zu bekommen.
3. Wenn du einfach nur die Elemente zählst, die an der Linearkombination beteiligt sind (ohne Vielfachheiten) stellt sich die Frage, in wie weit sich dieses Konzept von der Suche nach minimalen Erzeugendensystemen einer endlich erzeugten Gruppe unterscheidet.
Zählst du mit Vielfachheiten, so wirst du es schon allein aus kombinatorischen Gründen nicht schaffen, eine unendliche Gruppe als $k$-Erzeugnis einer endlichen Menge für ein endliches $k$ zu schreiben; was die schönen unendlichen Gruppen wie etwa [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] auf diese Art eher unschön darstellbar macht.
Also zusammenfassend: Ich weiß nicht, in wie weit es bisher untersucht wurde. Aber falls du es untersuchen möchtest solltest du aufpassen, wie du deine Begriffe genau definierst, damit es eine würdige Verallgemeinerung des klassischen Erzeugendensystems darstellt.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Mi 16.01.2013 | | Autor: | wauwau |
Hallo Schattenmeister,
danke für deine Kommentare.
Bei meiner Definition würde ich gleiche Elemente, die mehrfach kommen, auch mehrfach zählen wollen.
So wären z.B.: [mm] $\{1\} \cup \{$gerade Zahlen$\}$ [/mm] eine erzeugende Menge von [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] der Ordnung 2
Die klassische Erzeugendenmenge wäre dann eine Erzeugendenmenge der Ordnung [mm] $\infty$
[/mm]
Die Fragen:
Wann das k-Erzeugnis einer Teilmenge wieder ein Gruppe ist?
Welche Mächtigkeit minimale k-Erzeugendengruppen von (speziellen) endlichen Gruppen haben?
Welche Gruppen von optimal gewählten k-Erzeugendenmengen mit n-Elementn erzeugt werden?
wären doch ganz nett, untersucht zu werden?
Oder?
P.S.: Wäre bei endlichen Gruppen sowas wie ein gruppentheoretisches postage stamp problem
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Do 17.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die bekannte Definition:
> Eine Erzeugermenge einer Gruppe ist eine Teilmenge der
> Gruppe so dass sich jedes Gruppenelement als Kombination
> (unter der Gruppenoperation) endlich vieler Elemente dieser
> Teilmenge und ihrer inverser darstellen läßt.
>
> Wurde in der Literatur folgende erweiterte Definition schon
> untersucht?
>
>
> Eine Erzeugermenge einer Gruppe der Ordnung k ist eine
> Teilmenge der Gruppe so dass sich jedes Gruppenelement als
> Kombination (unter der Gruppenoperation) von maximal k
> Elementen dieser Teilmenge und ihrer inverser darstellen
> lässt.
Das ist eine Frage, die ich eher auf Seiten wie ![[]](/images/popup.gif) mathoverflow.net stellen wuerde. Dort ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mathematiker der darueber etwas weiss die Frage sieht wesentlich hoeher als hier im Forum :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Sa 19.01.2013 | | Autor: | davux |
Schade, dass man hier keine 'Danke's für nützliche Beiträge verteilen kann, aber womöglich ist es auch auf einer ganz anderen Ebene geregelt, die ich wohl nicht kennenlernen werden. Der Verweis bedeutet mir persönlich einiges, da ich ausnahmsweise unter meinen Kommolitonen der gerne englische Literatur lese, umso mehr interessieren mich dahingehend Fragestellungen, die mir helfen auch die Vokabeln zu verinnerliche.
Tut mir auch Leid, wenn ich zum Thema nicht sehr viel beitragen kann.
Auf den ersten Blick habe ich etwas gelesen, was mich stark an das Auswahlaxiom erinnert hat und überhaupt sehr grundlagentheoretisch ist. Mir wäre es lieb, man würde die Definitionen - wie einen Rechenweg - vorweg ebenfalls noch einmal nachtragen. Gegebenenfalls könnte man auch die Idee, wie man auf die eigene Definition kam, wenn auch im übertragenen Sinne, nachtragen. So erhält man womöglich auch einen Namen.
Die Argumente von Shadowmaster kann ich bis auf das Dritte kaum nachvollziehen, was nicht heißt, dass ich sie nicht verstehe, nur den Zusammenhang muss ich wohl nochmal hinterfragen. Ansonsten würde ich mich gerne an der Diskussion beteiligen, wenn auch nur um unlichte ecken für mich selbst zu beleuchten. :)
Der Zusammenhang spiegelt sich wohl einvernehmlich mit ihm darin nieder, was er wiederum gerne erst einmal hätte, bevor er bestimmte Urteile fällt. Für meinen Teil umreißt du nur eine Charakteristik, aber ich brauche nicht selten sehr lange ehe ich eine Definition bis in alle Winkel beleuchtet habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 24.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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