Neue Aufgaben Nr. 4 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:56 Do 17.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Eine Zahl $n$ wird abundant genannt, wenn die Summe [mm] $\sigma [/mm] (n)$ ihrer Teiler (mitsamt der unechten Teiler 1 und n) größer als $2n$ ist. Man beweise: ist a abundant, so ist auch [mm] $a\cdot [/mm] b, [mm] b\in \IN$ [/mm] abundant.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
-> Es ist hinreichend, die Behauptung für Primzahlen $b$ zu zeigen. Induktiv folgt dann die allgemeine Behauptung.
-> Man zerlege $a$ in [mm] $a_0\cdot b^c$ [/mm] für geeignete [mm] $a_0, c\in \IN$ [/mm] und untersuche, welche Teiler durch Multiplikation mit $b$ hinzukommen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich muss das noch einmal komplett überdenken, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") .
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Hui, schön formell, vorallem die Formel für die Summe aller Teiler gefällt mir sehr gut *merk*. Ich hab's zwar ein wenig anders gemacht, aber das ist ja egal :-P
Wunderbar.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Eine Frage habe ich doch noch:
> $ = [mm] \prod\limits_{{p \in P} \atop {\omega_p(b)=0}} \frac{p^{\omega_p(a)+1}-1}{p-1} \cdot \prod\limits_{{p \in P} \atop {\omega_p(b)>0}} \frac{p^{\omega_p(a) + \omega_p(b)+1}-1}{p-1} [/mm] $
> $ > 2a [mm] \cdot \prod\limits_{{p \in P} \atop {\omega_p(b)>0}} \frac{p^{\omega_p(b)+1}-1}{p-1} [/mm] $
Ich verstehe diesen Schritt nicht ganz. Es kann doch durchaus Primzahlen $p$ mit [mm] $\omega_{p}(a),\omega_{p}(b)\not= [/mm] 0$ geben, oder? Diese Primfaktoren werden in deinem erstem Produkt aber nicht berücksichtigt und somit kannst man es doch nicht durch $2a$ nach unten abschätzen, oder? Wo liegt hier mein Denkfehler? So meinst du es doch in diesem Schritt, richtig? In dem zweiten Produkt lässt du dann einfach die [mm] $\omega_{p}(a)$ [/mm] im Exponenten weg und verstärkst die Abschätzung damit noch.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ja, du hast Recht. Ich denke jetzt noch mal über alles nach, genauso wie über meine andere besch... Lösung, die vollkommen falsch ist. Du bekommst nachher noch überarbeitete Lösungen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Also, ich habe mir jetzt mal deinen Tipp angeschaut. In der Tat genügt es die Behauptung für Primzahlen $b$ zu zeigen. Sei $b=p'$ eine Primzahl. Dann gilt:
[mm] $\sigma(a\cdot [/mm] p')$
$= [mm] \prod\limits_{p \in P} \frac{p^{\omega_p(a \cdot p') +1}-1}{p-1}$
[/mm]
$= [mm] \prod\limits_{{p \in P} \atop {p \ne p'}} \frac{p^{\omega_p(a) +1}-1}{p-1} \cdot \frac{p'^{\omega_{p'}(a)+2}-1}{p'-1}$
[/mm]
$ [mm] \ge \prod\limits_{{p \in P} \atop {p \ne p'}} \frac{p^{\omega_p(a) +1}-1}{p-1} \cdot \frac{p'^{\omega_{p'}(a)+1}-1}{p'-1} \cdot [/mm] p'$
$= [mm] \prod\limits_{p \in P} \frac{p^{\omega_p(a)+1}-1}{p-1} \cdot [/mm] p'$
$= [mm] \sigma(a) \cdpt [/mm] p'$
$> 2ap'$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Wenn ich mich jetzt nicht verhaspelt habe, sollte die Lösung stimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . So ähnlich, nur nicht so formell, habe ich das auch gemacht.
Liebe Grüße,
Hanno
PS: Super, die Beteiligung hier steigt ja schön, da kann ich ja gleich schon neue Aufgaben stellen.
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