Neue Aufgaben Nr. 3 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:54 Do 17.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
So, ich stelle jetzt zusätzlich ein paar Aufgaben, die ich meiner Meinung nach bereits gelöst habe. Es besteht also nicht die Gefahr, dass sie Jahrelang unbeantwortet bleiben.
Finde alle ganzen Zahlen $x,y$, die die Gleichung
$1+1996x+1998y=xy$
erfüllen!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Do 17.02.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
...dass es sich um genau sechs Paare $(x,y)$ handelt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Peter!
Ja, nach meiner Rechnung sind es genau sechs Lösungspaare.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Die Gleichung ist äquivalent zu
$1997(x+y) = (x-1)(y+1)$.
Diese ist entweder dann erfüllt, wenn beiden Seiten gleich $0$ sind (dafür gibt es genau eine Möglichkeit) oder aber, da $1997$ prim ist, dann, wenn $1997|(x-1)$ oder $1997|(y+1)$.
Ist das soweit richtig?
Danke! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ja, soweit sollte das schon stimmen denke ich
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Hier ein Tip, der eigenltich schon alles verrät: substituiere $x=1998+x'$ und $y=1996+y'$.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno!
Da 1997 eine Primzahl ist, ist die Aufgabe ein Spezialfall vom Typ
$ [mm] n^2 [/mm] + (p-n)x + (p+n)y = [mm] x\;y [/mm] $ mit $ [mm] x,y\in \IZ [/mm] $ und $ [mm] n,p\in \IN [/mm] $ und $ p $ Primzahl.
Durch "geschickte Addition der Null" wird obige Gleichung zu (was ja deinem Tipp entspricht):
$ [mm] n^2 \;+\; \left( p-n \right) \left( \left(x-(p+n)\right) +(p+n)\right)\;+\; \left( p+n\right) \left( \left( y-(p-n)\right) +(p-n)\right) [/mm] $
$ [mm] \qquad =\;\left( \left( x-(p+n)\right) +(p+n)\right) \left( \left( y-(p-n)\right) +(p-n)\right) [/mm] $
$ [mm] \gdw n^2\;+\;p^2 [/mm] - [mm] n^2\;+\;\left( p+n\right) \left( x-(p+n)\right) \;+\;p^2-n^2\;+\;\left( p-n\right) \left( y-(p-n)\right) [/mm] $
$ [mm] \qquad =\;\left( x-(p+n)\right) \left( y-(p-n)\right) \;+\;\left( p+n\right) \left( x-(p+n)\right) \;+\;\left( p-n\right) \left( y-(p-n)\right) \;+\;p^2-n^2 [/mm] $
$ [mm] \gdw p^2\;=\;\left( x-(p+n)\right) \left( y-(p-n)\right) [/mm] $
Da p Primzahl ist, müssen entweder beide Faktoren p oder beide Faktoren (-p) werden.
$ [mm] \gdw x-(p+n)=y-(p-n)=\pm [/mm] p $
Bzw.
$ {x [mm] \choose y}=\left\{\begin{matrix} {2p+n\choose 2p-n} \\ {n\choose -n}\end{matrix}\right. [/mm] $
Was mich etwas irritiert, ist die Aussage, dass 6 Lösungspaare existieren sollen. Mit dieser Rechnung ergeben sich nur die zwei genannten.
MfG
R D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Mensch, mach doch nicht den gleichen Fehler wie ich zuerst! Ihr sollt euch mich zwar zum ![[auslach]](/images/smileys/auslach.gif "[auslach]") Vorbild nehmen, aber bitte nicht meine Fehler kopieren. 
> [mm]\gdw p^2\;=\;\left( x-(p+n)\right) \left( y-(p-n)\right)[/mm]
>
> Da p Primzahl ist, müssen entweder beide Faktoren p oder
> beide Faktoren (-p) werden.
Nein. Es können auch noch die Paare
$(x-(p+n),y-(p+n)) [mm] =(p^2,1)$,
[/mm]
$(x-(p+n),y-(p+n)) [mm] =(-p^2,-1)$,
[/mm]
$(x-(p+n),y-(p+n)) [mm] =(1,p^2)$ [/mm] und
$(x-(p+n),y-(p+n)) [mm] =(-1,-p^2)$ [/mm]
auftreten.
Macht (wenn man nach $(x,y)$ auflöst) insgesamt sechs Löungspaare. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Stefan
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