Neue Aufgabe Nr. 5 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:59 Do 17.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Sei $S$ die Menge aller ungeraden, natürlichen Zahlen größer 1. Sei ferner [mm] $\delta [/mm] (x)$ für jede Zahl [mm] $x\in [/mm] S$ diejenige eindeutige ganze Zahl, für die [mm] $2^{\delta (x)}
Für [mm] $a,b\in [/mm] S$ sei weiter [mm] $a\* b:=2^{\delta(a)-1}(b-3)+a$.
[/mm]
Man zeige, dass
(i) [mm] $\*$ [/mm] auf $S$ abgeschlossen ist
(ii) [mm] $\*$ [/mm] assoziativ ist
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Für jede Zahl [mm] $a\in \IN$ [/mm] gibt es Koeffizienten [mm] $a_0,a_1,...,a_{n_0}\in \{0,1\}$ [/mm] so, dass [mm] $a=\summe_{i=0}^{n_0}{a_i 2^i}$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Max |
Hi,
ich denke (i) schaffe ich noch *hoff*
> Man zeige, dass
> (i) [mm]\*[/mm] auf [mm]S[/mm] abgeschlossen ist
> (ii) [mm]\*[/mm] assoziativ ist
Die Verknüpfung [mm] $\*$ [/mm] ist auf $S$ abgeschlossen, wenn für alle $a,b [mm] \in [/mm] S$ gilt [mm] $a\* [/mm] b [mm] \in [/mm] S$.
Da [mm] $2^{\delta(a)-1}(b-3)>0$ [/mm] und gerade, ist die Summe [mm] $a\* b=2^{\delta(a)-1}(b-3)+a$ [/mm] ungerade. Da [mm] $a\in [/mm] S$ ist $a>1$, damit ist auch [mm] $2^{\delta(a)-1}(b-3)+a [/mm] >1$. Also ist [mm] $a\* [/mm] b [mm] \in [/mm] S$.
Entweder ich bin doof oder Hanno hat sich verschrieben....
Es gilt $ [mm] 2^2 [/mm] < 5 < [mm] 2^3 [/mm] $, also [mm] $\delta(5)=2$. [/mm] Es gilt [mm] $2^3<11<2^4$, [/mm] also [mm] $\delta(11)=3$.
[/mm]
[mm] $5\* [/mm] 11 = [mm] 2^{2-1}(11-3)+5 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] (11-3)+5 [mm] =2\cdot [/mm] 8+5 =21$
[mm] $11\* [/mm] 5 = [mm] 2^{3-1}(5-3)+11= 2^2\cdot [/mm] (5-3)+11= [mm] 4\cdot [/mm] 2 +11 =19$
Das wäre damit ein Gegenbeispiel, oder habe ich mich irgendwo geirrt?
Gruß Brackhaus
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Morgen,
meiner Meinung prüfts du die kommutativität nach a*b=b*a und nicht die verlangte
Assoziativität (a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c, und ohne Beweis würde ich sagen
1., es ist nicht kommutativ
und 2., es ist assoziativ (rein dem Gefühl nach)
mfg,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Max |
Uuuups, ja das ist natürlich peinlich. Also trifft "oder ich bin blöd" zu 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Max!
Deine Lösung zu (i) ist völlig korrekt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Der Irrtum, der dir im Folgenden unterlaufen ist, ist ja bereits geklärt. Nun also ran an Aufgabe (ii)!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo an alle!
Ich poste einfach mal die Lösung, da an dieser Aufgabe niemand mehr zu arbeiten scheint:
Seien $a,b,c\in S$ mit $a:=\summe_{i=0}^{n_{0}(a)}{a_i 2^i}, b:=\summe_{i=0}^{n_{0}(b)}{b_i 2^i}, c:=\summe_{i=0}^{n_{0}(c)}{c_i 2^i}\quad a_i,b_i,c_i\in \{0,1\}$. Da $a,b,c$ ungerade sind, sind die $a_0,b_0,c_0=1$. Somit gilt $\delta (a)=n_{0}(a), \delta (b)=n_{0}(b), \delta (c)=n_{0}(c)$ und daher auch $a\* b:=2^{\delta(a)-1}(b-3)+a=2^{n_0(a)-1}(b-3)+a$. Existiert ein $i, 1\leq i<n_0(b)$ mit $b_i=1$, dann ist $\delta(b-3)=\delta(b)=n_0(b)$ und $\delta(2^{n_0(a)-1}(b-3))=n_0(a)+n_0(b)-1$. Zur besseren Lesbarkeit sei $b':=2^{n_0(a)-1}(b-3)$. Dann muss $\delta(b')=\delta(b'+a)$ gelten, da nach Voraussetzung die Menge der $b_i, 1\leq i<n_0(b)$ mit $b_i=1$ nichtleer ist; sie besitzt ein kleinstes Element $i_0$. Durch Subtraktion von $3$ wird dieser Koeffizient auf $0$ gesetzt, folglich ist $b'_{n_0(a)-1+i_0}=0$. Wird nun $a$ addiert, so kann nur dann $\delta(b')\not= \delta(b'+a)$ gelten, wenn für alle $i, n_0(a)\leq n_0(b')$ der Koeffizient $b'_i$ den Wert 1 hat. Dies widerspricht allerdings $b'_{n_0(a)-1+i_0}=0$. Somit ist tatsächlich $\delta(b'+a)=\delta(b')$.
Eingesetzt in $(a\* b)\* c$ ergibt dies $(a\* b)\* c=2^{n_0(a)-1+n_0(b)-1}(c-3)+2^{n_0(a)-1}(b-3)+a=2^{n_0(a)-1}((2^{n_0(b)-1}(c-3)+b)-3)+a=a\* (b\* c)$.
Ist hingegen $b_i=0$ für alle $1\leq i<n_0(b)$, so ist $\delta(2^{n_0(a)-1}(b-3)}=n_0(a)+n_0(b)-2$. Allerdings ist genau dann auch $\delta(b'+a)=\delta(b')+1$, da alle Koeffizienten $b'_{n_0(a)-1+i}, 1\leq i\leq n_0(b)-1$ den Wert 1 haben, durch Addition von $a$ der Koeffizient $n_0(a)$ erhöht wird, alle Koeffizienten $b'_{n_0(a)-1+i}, 1\leq i\leq n_0(b)-1$ den Wert 0 annehmen und daher $b'_{n_0(a)+n_0(b)+1}=1$ gilt. Daher gilt auch für diesen Fall $\delta(2^{n_0(a)-1}(b-3))=n_0(a)+n_0(b)-1$ und die Behauptung folgt abermals aus obiger Rechnung.
Damit ist gezeigt, dass $\*$ assoziativ ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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