Nette Aufgabe zu Polynomen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
auch diese Aufgabe ist ganz nett (meine ich jedenfalls):
Sei [mm] $p(z):=z^{47}-z^{23}+2z^{11}-z^5+4z^2+1.$
[/mm]
Man zeige ohne (!) Verwendung des Satzes von Rouché: $p$ hat mindestens eine Nullstelle [mm] $z_0 \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z_0|<1$. [/mm] |
Auch diesmal meine übliche Bitte an jemanden im Kreise der Modaratoren, die Aufgabe in geeigneter Weise zu kennzeichnen.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Di 18.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
hier wieder die übliche Dummy-Frage zum Nichtbeantworten, damit die Aufgabe als offene Frage gelistet bleibt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> hier wieder die übliche Dummy-Frage zum Nichtbeantworten,
> damit die Aufgabe als offene Frage gelistet bleibt.
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant,
herzlichen Dank
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 18.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
soweit ich sehe, haben alle 47 Nullstellen den Betrag [mm] |z|\approx1,0344269 [/mm] - bist Du sicher, dass die Aufgabe so stimmt?
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> soweit ich sehe, haben alle 47 Nullstellen den Betrag
> [mm]|z|\approx1,0344269[/mm] - bist Du sicher, dass die Aufgabe so
> stimmt?
Hallo rev,
ja, ich bin mir sicher. Wie bist Du denn auf obiges gekommen ? Wenn das wirklich so wäre, wie Du sagst, so wäre das Produkt der Beträge der Nullstellen >1.
Das kann aber nicht sein ! Warum ? Vielleicht hab ich jetzt schon die Lösung verraten ...
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Di 18.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> > - bist Du sicher, dass die Aufgabe so
> > stimmt?
>
> Hallo rev,
>
> ja, ich bin mir sicher. Wie bist Du denn auf obiges
> gekommen ? Wenn das wirklich so wäre, wie Du sagst, so
> wäre das Produkt der Beträge der Nullstellen >1.
>
> Das kann aber nicht sein ! Warum ? Vielleicht hab ich jetzt
> schon die Lösung verraten ...
Hm, ja. Ich hab numerisch gesucht, weil ich auf diese einfache Idee nicht gekommen bin. Wenn man allerdings zu blöd zum Programmieren ist (und auch noch Moivre falsch anwendet), ist das vielleicht doch kein guter Ansatz...
Nach Korrektur hier z.B. eine der gesuchten Nullstellen, sehr grob gerundet: [mm] z\approx0,008\pm0,5i
[/mm]
Sorry.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Mi 19.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen,
> auch diese Aufgabe ist ganz nett (meine ich jedenfalls):
>
> Sei [mm]p(z):=z^{47}-z^{23}+2z^{11}-z^5+4z^2+1.[/mm]
>
> Man zeige ohne (!) Verwendung des Satzes von Rouché:
damit sich niemand von der Erwaehnung des Satzes von Rouché abschrecken laesst sollte man vielleicht noch erwaehnen, dass man diese Aufgabe auch mit rein algebraischen/zahlentheoretischen Mitteln und Analysis I loesen kann, so ganz ohne Funktionentheorie (die kommt dann nur beim Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra zum Tragen, den man indirekt anwendet).
LG Felix
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