Nenner des Näherungsbruchs < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es bezeichne [mm] q_n [/mm] den Nenner des n-ten Näherungbruchs einer reellen Zahl. Zeige
[mm] q_n [/mm] >= [mm] (\frac{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1}
[/mm]
für n>=0 |
In der Vorlesung hatten wir die abschätzung [mm] q_k [/mm] >= [mm] \wurzel{2}^{k-1} [/mm]
[mm] \forall [/mm] k >=0
Ich habe gedacht ich zeige die obige Behauptung mittels Induktion
k=0
[mm] q_0 [/mm] =1 >= [mm] (\frac{1+\wurzel{5}}{2})^{-1}= (\frac{2}{1+\wurzel{5}})
[/mm]
stimmt
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Hallo theresetom,
alles gut soweit.
Vielleicht hilft Dir dies ja weiter, Deine Abschätzung weiter zu bearbeiten:
[mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^2=\bruch{1+2\wurzel{5}+5}{4}=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}+1
[/mm]
Dieses Quadrat begegnet einem sowohl beim goldenen Schnitt also auch (ganz naheliegend) bei der Fibonacci-Folge. 
Und jetzt begegnet es Dir in Deiner Abschätzung...
Grüße
reverend
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