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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Negieren Sie die folgenden Aussagen:
a) Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt: |x - y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] .
b) Zu jeder Menge M gibt es eine Menge N mit M [mm] \subset [/mm] N, so dass keine surjektive Abbildung von M nach N existiert. |
Hallo ihr lieben,
also bei diesen beiden Aussagen bin ich mir nicht sicher, was die Negierungen angeht. Würde mich darüber freuen, wenn ihr mir helfen könnt.
Bei a) würde ich sagen, dass es mindestens ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] \delta [/mm] >0 gibt, so dass die ganze Aussage nicht gilt.
Bei b) würde ich auch sagen, dass es mindestens eine Menge M gibt mit N, mit M [mm] \subset [/mm] N, so dass eine surjektive Abbildung von M nach N existiert.
Aber ich bin mir halt bei beiden nicht sicher, ob ich es richtig negiert habe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
lg Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Sa 27.10.2007 | | Autor: | alex42 |
Hallo Elfe,
hier nochmal eine kleine Erinnerung zur Negierung: beim Negieren wird aus einem "für alle" ein "es existiert" und umgekehrt.
Damit sieht dein Ansatz schon sehr gut aus, schreibe doch die ganze Aussage mal so auf, wie du sie negieren würdest, also bei a):
Es existiert ein [mm] $\varepsilon$>0 [/mm] ...
Gruß Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Danke schonmal! Okay, ich versuchs mal. Bei a) also:
Es existiert ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für x, y [mm] \in \IR [/mm] nicht gilt: |x - y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon. [/mm]
Ist das richtig? Ich bin mir da nicht ganz sicher, ob das so muss oder ob im letzten Teil doch noch was geändert werden muss. Ob ich da vielleicht doch einfach schreibe "so dass für x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt", weil ich ja schon weiter vorne verneint habe.
und bei b)
Es existiert eine Menge M zu einer Menge N mit M [mm] \subset [/mm] N, so dass eine surjektive Abbildung von M nach N existiert.
Hier wieder die Frage ob ich nach dem "so dass" noch einmal negiere, oder ob es sich schon durch das erste erledigt hat.
lg Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 27.10.2007 | | Autor: | alex42 |
> Danke schonmal! Okay, ich versuchs mal. Bei a) also:
>
> Es existiert ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit [mm]\delta[/mm] > 0, so dass
> für x, y [mm]\in \IR[/mm] nicht gilt: |x - y| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> |f(x) - f(y)| < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Ist das richtig? Ich bin mir da nicht ganz sicher, ob das
> so muss oder ob im letzten Teil doch noch was geändert
> werden muss. Ob ich da vielleicht doch einfach schreibe "so
> dass für x, y [mm]\in \IR[/mm] gilt", weil ich ja schon weiter vorne
> verneint habe.
Im Teil mit den [mm] $\delta$ [/mm] solltest du noch etwas genauer werden: Gilt es für (mind.) eines oder für alle? Der letzte Teil der Aussage muss natürlich auch negiert werden, sonst hättest du ja nur die Voraussetzungen für die eigendliche Aussage geändert. Hier wäre es noch schöner, wenn du das "nicht" direkt in die Aussage einbaust, also z.B.
"nicht x<y" wird zu [mm] "x$\ge$y"
[/mm]
> und bei b)
> Es existiert eine Menge M zu einer Menge N mit M [mm]\subset[/mm]
> N, so dass eine surjektive Abbildung von M nach N
> existiert.
>
> Hier wieder die Frage ob ich nach dem "so dass" noch einmal
> negiere, oder ob es sich schon durch das erste erledigt
> hat.
>
> lg Elfe
auch hier ist deine Aussage zu N nicht ganz eindeutig: für ein N oder für alle? Auch hier muss die ganze Aussage negiert werden, also inklusive dem Schluss (wie du es ja getan hast).
Gruß Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
> Im Teil mit den [mm]\delta[/mm] solltest du noch etwas genauer
> werden: Gilt es für (mind.) eines oder für alle? Der letzte
> Teil der Aussage muss natürlich auch negiert werden, sonst
> hättest du ja nur die Voraussetzungen für die eigendliche
> Aussage geändert. Hier wäre es noch schöner, wenn du das
> "nicht" direkt in die Aussage einbaust, also z.B.
>
> "nicht x<y" wird zu "x[mm]\ge[/mm]y"
>
Also ich würde sagen, dass es für mindestens ein [mm] \delta [/mm] gilt und nicht für eines. Ich lass mich aber auch gerne korrigieren.
Also:
Es existiert mindestens ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit einem [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt: |x - y| > [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| > [mm] \varepsilon.
[/mm]
Oder habe ich mich jetzt schon wieder komplett vertan? Negieren will bei mir irgendwie nicht funktionieren...
>
> auch hier ist deine Aussage zu N nicht ganz eindeutig: für
> ein N oder für alle? Auch hier muss die ganze Aussage
> negiert werden, also inklusive dem Schluss (wie du es ja
> getan hast).
> Gruß Alex
Also hier würde ich dann sagen, dass es mindestens eine Menge N gibt...
Danke für die Hilfe!
lg Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 27.10.2007 | | Autor: | alex42 |
> Also ich würde sagen, dass es für mindestens ein [mm]\delta[/mm]
> gilt und nicht für eines. Ich lass mich aber auch gerne
> korrigieren.
> Also:
> Es existiert mindestens ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit einem
> [mm]\delta[/mm] > 0, so dass für x, y [mm]\in \IR[/mm] gilt: |x - y| > [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> |f(x) - f(y)| > [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Oder habe ich mich jetzt schon wieder komplett vertan?
> Negieren will bei mir irgendwie nicht funktionieren...
>
Hier möchte ich auf meinen ersten Beitrag verweisen: aus "es gibt ein" wird beim negieren "für alle". Ein bisschen klarer wird es vielleicht wenn man sich das ganze ausformuliert:
Die Aussage war: Zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] findet man ein [mm] $\delta$ [/mm] so dass... Die Negation wäre dann: Es gibt ein [mm] $\varepsilon$, [/mm] zu dem man kein [mm] $\delta$ [/mm] findet, also dass für alle [mm] $\delta$ [/mm] die Negation der restlichen Aussage gilt.
Bei diesem letzten Teil hast du jetzt ein wenig viel herumgedreht. Es müsste hier heißen:
für alle x,y [mm] $\in\IR$ [/mm] gilt: |x-y| < [mm] $\delta$ $\Rightarrow$ [/mm] |f(x)-f(y)| [mm] $\ge \varepsilon$
[/mm]
Hier ist also wiederum die Aussage: < [mm] $\varepsilon$, [/mm] die Negiert wird. Ich weiß, das ist am Anfang kompliziert, welche Teile negiert werden und welche nicht. Hier hilft es vielleicht, sich genau zu überlegen, was die Aussage ist und was die Negation. Und natürlich Übung :)
> Also hier würde ich dann sagen, dass es mindestens eine
> Menge N gibt...
>
> Danke für die Hilfe!
> lg Elfe
Hier wieder wie oben: In der Negierten Aussage muss es ein M geben, so dass für alle N ...
Ich hoffe, ich hab dich jetzt nicht zu sehr verwirrt.
Gruß Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Okay, ich GLAUBE dass du mich nicht verwirrt hast, aber das werden wir ja nun sehen wenn ich meine Ergebnisse nochmal aufschreibe 
a) Es existiert ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 zu dem es kein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt, so dass für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt: |x - y| [mm] \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| [mm] \ge \varepsilon.
[/mm]
Hab ich dich verstanden?
b) Es gibt ein M, so dass für alle N mit M [mm] \subset [/mm] N gilt, dass eine surjektive Abbildung von M nach N existiert.
Ich bin dir echt dankbar, dass du dich mit sowas trivialem beschäftigst.
lg Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 27.10.2007 | | Autor: | alex42 |
> Okay, ich GLAUBE dass du mich nicht verwirrt hast, aber das
> werden wir ja nun sehen wenn ich meine Ergebnisse nochmal
> aufschreibe
>
> a) Es existiert ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 zu dem es kein [mm]\delta[/mm] >
> 0 gibt, so dass für alle x, y [mm]\in \IR[/mm] gilt: |x - y|
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f(x) - f(y)| [mm]\ge \varepsilon.[/mm]
>
> Hab ich dich verstanden?
>
Nun, es scheint ich hätte dich ein wenig verwirrt, bzw. ich mich umständlich ausgedrückt. Wenn du schreibst: "es gibt kein [mm] $\delta$ [/mm] ... [mm] $\ge \varepsilon$" [/mm] hast du einmal zu viel negiert. Was ich meinte ist, dass man sich die Aussage Schritt für Schritt negieren kann:
Aussage: für alle [mm] $\varepsilon$>0 [/mm] gibt es [mm] $\delta$>0 [/mm] so dass ... < [mm] $\varepsilon$
[/mm]
1. Schritt (gedanklich): es gibt ein [mm] $\varepsilon$>0 [/mm] so dass man kein [mm] $\delta$>0 [/mm] finden kann, so dass ... [mm] <$\varepsilon$ [/mm] gilt.
2. Schritt (gedanklich): es gibt [mm] $\varepsilon$>0 [/mm] so dass für alle [mm] $\delta$>0 [/mm] gilt, dass [mm] ...<$\varepsilon$ [/mm] NICHT erfüllt ist
3. Schritt: es gibt [mm] $\varepsilon$>0, [/mm] so dass für alle [mm] $\delta$>0 [/mm] gilt, dass [mm] ...$\ge \varepsilon$ [/mm] ist.
Ich dachte mir, dass es vielleicht hilfreich ist, sich so klar zu machen, wie die einzelnen Teile negiert werden. Hinschreiben tust du dann nur noch den letzen Schritt. Diese Überlegung führt dann zu der Regel vom Anfang, mit der man dann ziemlich schnell negieren kann. Hier nochmal:
"für alle" wird zu "es gibt (mind.) ein"
"es gibt ein" wird zu "für alle"
> b) Es gibt ein M, so dass für alle N mit M [mm]\subset[/mm] N gilt,
> dass eine surjektive Abbildung von M nach N existiert.
>
> Ich bin dir echt dankbar, dass du dich mit sowas trivialem
> beschäftigst.
>
> lg Elfe
Das sieht schon sehr gut aus. Und so trivial ist das gar nicht... :)
Gruß Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Danke, danke, danke!
Ich glaube nun habe ich es endlich verstanden :) Echt super!
lg Elfe
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