Negation von Quantoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Negieren sie die folgenden Aussagen, geben Sie deren Bedeutung in Worten wieder und entscheiden Sie, welche der Aussagen wahr sind! |
hallo erstmal ^^
ich habe Probleme bei der obigen Aufgabe und zwar bei folgender Teilaufgabe:
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall \varepsilon \in \IR \foralln \in \IN [/mm] : [mm] [(\varepsilon [/mm] > 0) [mm] \wedge [/mm] (n > N)] [mm] \Rightarrow (\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon)
[/mm]
das negieren des ersten Teils fällt mir ja noch leicht:
[mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists \varepsilon \in \IR \exists [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
nur danach weiß ich nicht mehr ganz weiter. welche Zeichen drehen sich genau beim negieren um? muss ich alle gößer/kleiner Zeichen umkehren, sowie [mm] \wedge [/mm] zu [mm] \vee [/mm] machen? das habe ich irgendwie nicht wirklich verstanden, wäre lieb, wenn mir das wer erklären könnte ~~
und in Worten habe ich das wie folgt zusammen gefasst: [Bitte u Korrektur, falls es falsch ist]
die Ausgangsaussage:
Es existiert eine natürliche Zahl N, sodass für alle reellen Zahlen [mm] \varepsilon [/mm] und alle natürlichen Zahlen n [mm] [(\varepsilon [/mm] > 0) [mm] \wedge [/mm] (n > N)] [mm] \Rightarrow (\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon) [/mm] gilt.
und für die Negation:
Für alle natürlichen Zahlen N existiert mindestens eine reelle Zahle [mm] \varepsilon, [/mm] sowie mindestens eine natürliche Zahl n, sodass (....) gilt.
Vielen lieben Dank schonmal im Voraus!
Ich bin für jede Hilfe dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Negieren sie die folgenden Aussagen, geben Sie deren
> Bedeutung in Worten wieder und entscheiden Sie, welche der
> Aussagen wahr sind!
> hallo erstmal ^^
> ich habe Probleme bei der obigen Aufgabe und zwar bei
> folgender Teilaufgabe:
>
> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon \in \IR \foralln \in \IN[/mm]
> : [mm][(\varepsilon[/mm] > 0) [mm]\wedge[/mm] (n > N)] [mm]\Rightarrow (\bruch{1}{n}[/mm]
> < [mm]\varepsilon)[/mm]
>
> das negieren des ersten Teils fällt mir ja noch leicht:
> [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists \varepsilon \in \IR \exists[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> nur danach weiß ich nicht mehr ganz weiter. welche Zeichen
> drehen sich genau beim negieren um? muss ich alle
> gößer/kleiner Zeichen umkehren, sowie [mm]\wedge[/mm] zu [mm]\vee[/mm]
ich hätte jetzt eher erwartet, dass Dir der Folgepfeil Probleme bereitet. Nur zur Erinnerung ein Hilfsmittel HM:
[mm] $$\text{(HM) }\;\;A \Rightarrow [/mm] B$ ist gleichbedeutend mit [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee B\,.$$
[/mm]
Jetzt schauen wir uns das mal an. Du warst ja soweit gekommen, dass es Dir nur noch fehlt
[mm][(\varepsilon[/mm] > 0) [mm]\wedge[/mm] (n > N)] [mm]\Rightarrow \left(\bruch{1}{n} < \varepsilon\right)[/mm]
zu negieren, also:
[mm] $$\neg \left[[(\varepsilon > 0)\wedge (n > N)] \Rightarrow \left(\bruch{1}{n} < \varepsilon\right)\right]$$
[/mm]
ist noch anzugeben. Mit dem obigem HM folgt unter Verwendung der ![[]](/images/popup.gif) Gesetze von de Morgan:
[mm] $$\neg \left[[(\varepsilon > 0)\wedge (n > N)] \Rightarrow \left(\bruch{1}{n} < \varepsilon\right)\right]$$
[/mm]
[mm] $$=\neg \left[\neg [(\varepsilon > 0)\wedge (n > N)] \vee \left(\bruch{1}{n} < \varepsilon\right)\right]$$
[/mm]
[mm] $$=\left[\neg\left(\neg [(\varepsilon > 0)\wedge (n > N)]\right) \wedge \neg \left[\bruch{1}{n} < \varepsilon\right]\right]\,.$$
[/mm]
Jetzt beachte [mm] $\neg(\neg [/mm] X)=X$ und [mm] $\neg \left[\bruch{1}{n} < \varepsilon\right]=\frac{1}{n} \ge \varepsilon\,.$
[/mm]
P.S.:
Später wirst Du das alles schneller machen. Und zwar, indem Du sagst, dass die Negation von $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ gerade $A [mm] \wedge (\neg [/mm] B)$ ist. Denn:
[mm] $$\neg(A \Rightarrow B)\overset{\text{(HM)}}{=}\neg\left[(\neg A) \vee B\right]\overset{\text{de Morgan}}{=} [/mm] A [mm] \wedge (\neg B)\,.$$
[/mm]
Damit steht dann sofort da
[mm] $$\neg \left[[(\varepsilon > 0)\wedge (n > N)] \Rightarrow \left(\bruch{1}{n} < \varepsilon\right)\right]$$
[/mm]
[mm] $$=[(\varepsilon [/mm] > [mm] 0)\wedge [/mm] (n > N)] [mm] \wedge \neg\left(\bruch{1}{n} < \varepsilon\right)$$
[/mm]
und am Ende schreibt man dann noch [mm] $\neg\left(\bruch{1}{n} < \varepsilon\right)$ [/mm] zu [mm] $\frac{1}{n} \ge \varepsilon$ [/mm] um.
P.S.:
Ich hoffe, Dir ist klar, dass für $r [mm] \in \IR$ [/mm] mit festem [mm] $\varepsilon \in \IR$ [/mm] gilt:
Entweder ist $r < [mm] \varepsilon$, [/mm] oder es ist $r [mm] \ge \varepsilon$ [/mm] etc.
Mit diesen Überlegungen erkennst Du (wobei ich mit einer Zahl hier genauer eine reelle Zahl meine):
[mm] $\neg\left(r < \varepsilon\right)= [/mm] r [mm] \ge \varepsilon$ [/mm] (Wenn eine Zahl nicht $< [mm] \varepsilon$ [/mm] ist, dann muss sie [mm] $\ge \varepsilon$ [/mm] sein.),
[mm] $\neg\left(r > \varepsilon\right)= [/mm] r [mm] \le \varepsilon$ [/mm] (Wenn eine Zahl nicht $> [mm] \varepsilon$ [/mm] ist, dann muss sie [mm] $\le \varepsilon$ [/mm] sein.),
[mm] $\neg\left(r \le \varepsilon\right)= [/mm] r > [mm] \varepsilon$, [/mm] (Wenn eine Zahl nicht [mm] $\le \varepsilon$ [/mm] ist, dann muss sie $> [mm] \varepsilon$ [/mm] sein.),
[mm] $\neg\left(r \ge \varepsilon\right)= [/mm] r < [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] (Wenn eine Zahl nicht [mm] $\ge \varepsilon$ [/mm] ist, dann muss sie $< [mm] \varepsilon$ [/mm] sein.).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
