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| Aufgabe | Negieren Sie den folgenden Ausdruck (Prädikaten- und Aussagenlogik):
[mm] $\exists x\in\IR \exists \varepsilon>0 \forall \delta>0 ((|x-17|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon))$. [/mm] |
Hallo,
es wäre super, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Lösung richtig oder falsch ist.
[mm] $\neg(\exists x\in\IR \exists \varepsilon>0 \forall \delta>0 ((|x-17|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon)))$
[/mm]
[mm] $\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \neg((|x-17|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon))$
[/mm]
[mm] $\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 (\neg(|x-17|<\delta) \Rightarrow \neg(|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon))$
[/mm]
[mm] $\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 ((|x-17|\ge\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|<\varepsilon))$
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 So 07.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> [mm]\neg(\exists x\in\IR \exists \varepsilon>0 \forall \delta>0 ((|x-17|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon)))[/mm]
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> [mm]\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \neg((|x-17|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon))[/mm]
>
Bis hierhin ok.
Jetzt beachte, dass für zwei Aussagen p und q die Aussage p [mm] \Rightarrow [/mm] q gleichwertig ist mit [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] q und dementsprechend [mm] \neg [/mm] (p [mm] \Rightarrow [/mm] q) gleichwertig mit p [mm] \wedge \neg [/mm] q.
> [mm]\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 (\neg(|x-17|<\delta) \Rightarrow \neg(|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon))[/mm]
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> [mm]\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 ((|x-17|\ge\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|<\varepsilon))[/mm]
>
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> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß Sax.
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Vielen Dank, Sax.
Zur besseren Übersicht nochmals von Anfang an und ich hoffe, dass ich jetzt alles richtig habe.
[mm]\neg(\exists x\in\IR \exists \varepsilon>0 \forall \delta>0 ((|x-17|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon)))[/mm]
[mm]\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \neg((|x-17|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon))[/mm]
[mm]\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 ((|x-17|<\delta) \wedge \neg(|f(x)-f(17)|\ge\varepsilon))[/mm]
[mm]\gdw \forall x\in\IR \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 ((|x-17|<\delta) \wedge (|f(x)-f(17)|<\varepsilon))[/mm]
> Gruß Sax.
Nochmals vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 07.11.2010 | | Autor: | Sax |
alles bestens.
Gruß Sax.
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