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| Aufgabe | Bekanntermaßen sind die Mengen der Links- und Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Dieser Wert wird der Index der Untergruppe U in G genannt und mit [G:U] bezeichnet.
Zeigen Sie, dass jede Untergruppe U von G mit dem Index 2 Normalteiler von G ist. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich leider noch keinen Ansatz gefunden. Zunächst eine Frage: Die Menge der Links- und Rechtsnebenklassen ist immer gleichmächtig, aber nicht immer gleich, richtig? Denn sonst würde ich keinen richtigen Sinn in der Aufgabe sehen.
Dann hab ich mir überlegt, dass die Menge der Linksnebenklassen ja folgende ist: aU = {au: u in U} (a [mm] \in [/mm] G) (G Gruppe und U Untergruppe) ist. Aber das würde ja heißen, dass G nur 2 Elemente hat, wenn U den Index 2 hat, oder?
Also ich verstehe das nicht so richtig, bitte helft mir!
Manuela
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Hallo Manuela,
> Bekanntermaßen sind die Mengen der Links- und
> Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Dieser Wert wird der
> Index der Untergruppe U in G genannt und mit [G:U]
> bezeichnet.
>
> Zeigen Sie, dass jede Untergruppe U von G mit dem Index 2
> Normalteiler von G ist.
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich leider noch keinen Ansatz
> gefunden. Zunächst eine Frage: Die Menge der Links- und
> Rechtsnebenklassen ist immer gleichmächtig, aber nicht
> immer gleich, richtig? Denn sonst würde ich keinen
> richtigen Sinn in der Aufgabe sehen.
Allgemein können zwei gleichmächtige Mengen gleich sein, *müssen* aber nicht. Falls Dich das nicht überzeugt, hier ein Beispiel:
Sei [mm] $G:=S_4$, [/mm] $U={g [mm] \in [/mm] G | g(4)=4}$. Dann sind $U, [mm] L_1:=(1 [/mm] 2 4)U, [mm] L_2:=(1 [/mm] 3 4)U, [mm] L_3:=(1 [/mm] 2)(3 4)U$ die verschiedenen Linksnebenklassen nach $U$. Das gleiche gilt für $U, [mm] R_1:=U(1 [/mm] 2 4), [mm] R_2:=U(2 [/mm] 3 4), [mm] R_3:=U(1 [/mm] 2)(3 4)$. Aber [mm] $L_1, R_2$ [/mm] sind nicht gleich; auch nicht [mm] $L_2,R_1$. [/mm] Also sind auch die Mengen [mm] ${L_1, L_2, L_3}, {R_1,R_2,R_3}$ [/mm] nicht gleich.
>
> Dann hab ich mir überlegt, dass die Menge der
> Linksnebenklassen ja folgende ist: aU = {au: u in U} (a [mm]\in[/mm]
> G) (G Gruppe und U Untergruppe) ist. Aber das würde ja
> heißen, dass G nur 2 Elemente hat, wenn U den Index 2 hat,
> oder?
Nein, das sind zwei ganz verschiedene Dinge: (Links-)nebenklassen sind *Teilmengen* (hier einer Gruppe. $aU$ bezeichnet aber die Menge, gebildet aus einem festen Gruppenelement $a$ mit *allen* Elementen der Untergruppe $U$.
Wenn z.B. $G$ irgendeine Gruppe ist und $U=G$, dann besteht die *Menge* der Nebenklassen eben nur aus dem Element $G$.
Zur Aufgabe selbst schreib ich evtl. später noch was.
Jezt etwas klarer?
Mfg
zahlenspieler
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Hallo Zahlenspieler,
ja das hilft mir schon mal vom Verständnis her weiter  Aber ich habe leider immer noch keinen Ansatz zum Beweis!
Manuela
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Hi
You have to show that aH=Ha. (G:H)=2 is the number of left cosets of H in G.
Therefore aH=H if a [mm] \in [/mm] H and H [mm] \not= [/mm] aH if a [mm] \not\in [/mm] H. And for the same reason there is only 2 right cosets. Consider the left coset aH it must be H or Ha. If a [mm] \in [/mm] H it is clear that aH=H=Ha. And if a [mm] \not\in [/mm] H then aH [mm] \not= [/mm] H So the only possibility is aH=Ha. Therefore H is normal in G
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Hi,
thank you very much for your answer. But I don't understand the last statement you made. If a [mm] \not\in [/mm] H it is clear that aH [mm] \ne [/mm] H. But why is it the only possibility aH = Ha?
Manuela
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Manuela,
um $aH=Ha$ zu beweisen, reicht es zu zeigen: Zu jedem $h \in H$ gibt es ein $h^{'}\in H$ mit $ah=h^{'}a$. Für $a\in H$ klar.
Jetzt sei $a \not\in H$. Ist $b \in aH$, dann ist auch $b^{-1}\in aH$. Insbesondere ist $a \in aH$, d.h. $aH=a^{-1}H$.
Ist $b \in aH$, dann existieren $h_1, h_2 \in H$ mit $b=ah_1$ und $b^{-1}=a^{-1h_2$. Daraus folgt $b=(a^{-1}h_2)^{-1}=h_2^{-1}a$.
Das gilt aber für jedes $b \in aH$.
Mfg
zahlenspieler
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Ist [mm]b \in aH[/mm], dann ist auch [mm]b^{-1}\in aH[/mm].
Warum ist [mm] b^{-1}\ [/mm] in aH??
Insbesondere ist [mm]a \in aH[/mm], d.h. [mm]aH=a^{-1}H[/mm].
Warum gilt dieses insbesondere, wenn vorher angenommen wird, dass
a [mm] \not\in [/mm] H !???
Gruß raetselhaft
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:00 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Raetselhaft |
Wie sieht das ganze für einen Index 3 aus???
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Hallo raetselhaft,
bitte lies Dir nochmals die Forenregeln durch. Es geht in dieser Diskussion um eine Untergruppe vom Index 2, nicht Index 3. Es wird einfach unübersichtlich, wenn verschiedene Fragen in dieselbe Diskussion gepostet werden.
Gruß
zahlenspieler
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Hallo raetselhaft,
> Ist [mm]b \in aH[/mm], dann ist auch [mm]b^{-1}\in aH[/mm].
>
> Warum ist [mm]b^{-1}\[/mm] in aH??
>
Angenommen, [mm] $b^{-1}\not\in [/mm] aH$. Da $H, aH$ eine Partition von $G$ ist, muß [mm] $b^{-1}$ [/mm] und damit auch $b$ in $H$ liegen; d.h. $b [mm] \not\in [/mm] aH$-- Widerspruch.
> Insbesondere ist [mm]a \in aH[/mm], d.h. [mm]aH=a^{-1}H[/mm].
>
> Warum gilt dieses insbesondere, wenn vorher angenommen
> wird, dass
> a [mm]\not\in[/mm] H !???
Welche Elemente enthält die Linksnebenklasse $aH$?
Gruß
zahlenspieler
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