Näherungsweise Berechnung X < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Halogene |
| Aufgabe | Die Zufallvariable X sei B(1000;0,6) verteilt. Berechnen Sie näherungsweise:
a) P(x < 250)
b) P(x [mm] \ge [/mm] 600)
c) P(616 < X [mm] \le [/mm] 650) |
Wir haben nun folgende Formel
[mm] z=\bruch{X-\mu}{Sigma}
[/mm]
und können Sigma einfach über [mm] \wurzel{n*p*(1-p)} [/mm] berechnen.
a) Für Sigma bekomme ich 15.492 raus und für z= 25.82
wie mache ich nun weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Halogene,
> Die Zufallvariable X sei B(1000;0,6) verteilt. Berechnen
> Sie näherungsweise:
>
> a) P(x < 250)
> b) P(x [mm]\ge[/mm] 600)
> c) P(616 < X [mm]\le[/mm] 650)
> Wir haben nun folgende Formel
>
> [mm]z=\bruch{X-\mu}{Sigma}[/mm]
>
> und können Sigma einfach über [mm]\wurzel{n*p*(1-p)}[/mm] berechnen.
>
> a) Für Sigma bekomme ich 15.492 raus und für z= 25.82
Nach alledem, was ich so sehe, vermute ich, Du sollst die Normalverteilung als Näherung verwenden, stimmt's?
Allgemein gilt da erst mal für Binomialverteilungen:
P(X [mm] \le [/mm] k) [mm] \approx \Phi(\bruch{k - \mu +0,5}{\sigma})
[/mm]
(wobei an manchen Schulen die sog. "Stetigkeitskorrektur" 0,5, die zu etwas höherer Genauigkeit führt, einfach weggelassen wird - was soll's!)
Zunächst mal musst Du bei Deiner ersten Aufgabe etwas umformen:
P(X < 250) = P(X [mm] \le [/mm] 249).
Andererseits ist das von Dir berechnete z in der vorliegende Aufgabenstellung nicht nachvollziehbar. Ich bekomme da raus:
z = [mm] \bruch{249 - 600 + 0,5}{15,492} \approx [/mm] -22,62.
Da der Wert negativ ist und folglich in Deinem Tafelwerk nicht drinsteht, musst Du nun mit der Umformung [mm] \Phi(-t) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(t) [/mm] rechnen.
Insgesamt aber wird das Ergebnis praktisch =0 sein!
Und nun versuch die anderen selbst.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Halogene |
Moin Zwerglein,
danke für die Rechnung, das ist eher nachvollziehbar, weil ich hatte für X die 1000 eingesetzt, da ich dachte das sei der richtige weg.
Nun noch eine Frage zu "z", z ist doch die Wahrscheinlichkeit?
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Hi, Halogene,
> danke für die Rechnung, das ist eher nachvollziehbar, weil
> ich hatte für X die 1000 eingesetzt, da ich dachte das sei
> der richtige weg.
>
> Nun noch eine Frage zu "z", z ist doch die
> Wahrscheinlichkeit?
Nein, nein, z ist die neue Variable, die an die Stelle von x tritt!
(Durch den vorliegenden Bruch wird die Binomialverteilung so verschoben, dass ihr Maximum nun auf der y-Achse liegt und ungefähr 0,4 beträgt.)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird immer P genannt (aus dem Englischen: [mm] \red{P}ropability).
[/mm]
Diese Wahrscheinlichkeit hast Du erst dann gefunden, wenn Du zu diesem z im Tafelwerk den zugehörigen Wert abgelesen hast!
Bei Deiner ersten Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit praktisch 0, denn es wird fast nie vorkommen, dass man bei der vorliegenden Binomialverteilung (Erwartungswert immerhin 600!) weniger als 250 Treffer erzielt! Im Tafelwerk hören die Werte normalerweise auch schon bei z=4,76 auf.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 03.12.2006 | | Autor: | Halogene |
Moin Zwerglein,
hab mich nochmal mit meinen Unterlagen auseinandergesetzt.
/mu = Erwartungswert
Sigma = Standardverteilung
z = der Wert auf der X-Achse bis zu der man das Integral berechnet
Phi (z) = die durch das Integral berechnete Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle
damit ich das nun alles richtig verstanden habe:
p(X > 400)
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das ein Wert über 400 erreicht wird.
- Wir nehmen an: P(X [mm] \ge [/mm] 401)
[mm] z=\bruch{X-\mu}{Sigma} [/mm]
[mm] z=\bruch{401-600}{15.492} [/mm]
[mm] z\approx [/mm] -12,845
Phi(-z) = 1 - (z) = 1 - 12,48 = -11,48 = 0
-11,48, bis dahin wird das Integral von - [mm] \infty [/mm] gebildet, was = 0 ist
wie bei der obigen Aufgabe [a) P(x < 250)]
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Hi, Halogene,
> Moin Zwerglein,
>
> hab mich nochmal mit meinen Unterlagen auseinandergesetzt.
Gute Idee!
> [mm] \mu [/mm] = Erwartungswert
> [mm] \sigma [/mm] = Standardverteilung
[mm] Standard\red{abweichung}
[/mm]
> z = der Wert auf der X-Achse bis zu der man das Integral
> berechnet
und zwar immer von LINKS bis zu diesem Wert!
> Phi (z) = die durch das Integral berechnete
> Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle
für die VERTEILUNGSFUNKTION!
> damit ich das nun alles richtig verstanden habe:
>
> p(X > 400)
>
> - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das ein Wert über 400
> erreicht wird.
> - Wir nehmen an: P(X [mm]\ge[/mm] 401)
>
> [mm]z=\bruch{X-\mu}{Sigma}[/mm]
> [mm]z=\bruch{401-600}{15.492}[/mm]
> [mm]z\approx[/mm] -12,845
ERST umformen! P(X [mm] \ge [/mm] 401) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 400) (***)
DANN erst das z ausrechnen!
> Phi(-z) = 1 - (z) = 1 - 12,48 = -11,48 = 0
Richtig wäre:
P(X [mm] \le [/mm] 400) [mm] \approx \Phi(-z) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(z) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(12,88) [/mm] = 0
Demnach ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit (***)
P(X [mm] \ge [/mm] 401) [mm] \approx [/mm] 1 - 0 = 1.
> -11,48, bis dahin wird das Integral von - [mm]\infty[/mm] gebildet,
> was = 0 ist
>
> wie bei der obigen Aufgabe [a) P(x < 250)].
Nicht ganz: Dort war das Endergebnis 0, hier nur das Zwischenergebnis; das Endergebnis ist diesmal 1, denn es ist praktisch sicher, dass Du bei 1000-maliger Durchführung eines Experimentes mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 0,6 (=60%) mindestens 401 Treffer bekommst!
Und nun rechne auch mal was aus, wo NICHT =0 oder =1 rauskommt, z.B.
P(X [mm] \ge [/mm] 605) = ? (Bleiben wir ruhig bei der Binomialverteilung B(1000; 0,6)!)
Ach ja, noch was: Unterscheide P(...) (=Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses; "großes" P) von p (in Deinem Fall: p=0,6) = "Trefferwahrscheinlichkeit der gegebenen Bionomialverteilung ("kleines" p!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 So 03.12.2006 | | Autor: | Halogene |
Moin Zwerglein,
danke für die Verbesserungen!
Die Rechnung:
[mm] z=\bruch{X-\mu}{Sigma}
[/mm]
[mm] z=\bruch{605-600}{15.492}
[/mm]
[mm] z\approx0.3227
[/mm]
P(X $ [mm] \ge [/mm] $ [mm] 650)\approx \Phi(z) =\Phi(0,3227) [/mm] = 62,55
P = 62,55
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 03.12.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Halogene,
> Die Rechnung:
>
> [mm]z=\bruch{X-\mu}{Sigma}[/mm]
> [mm]z=\bruch{605-600}{15.492}[/mm]
> [mm]z\approx0.3227[/mm]
>
> P(X [mm]\ge[/mm] [mm]650)\approx \Phi(z) =\Phi(0,3227)[/mm] = 62,55
>
> P = 62,55
Diesmal hast Du richtig abgelesen, aber:
(1) Das Ergebnis wäre bei Deiner Rechnung entweder 0,6255 oder 62,55 [mm] \red{%} [/mm] .
(2) Du hast wieder nicht aufgepasst und berechnet: P(X [mm] \le [/mm] 605).
(Dafür ist Dein Ergebnis OK!)
Aufgabe war aber : P(X [mm] \ge [/mm] 605).
Da musst Du dann 1 - P(X [mm] \le [/mm] 604) berechnen und es kommt so um die 37% raus.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 So 03.12.2006 | | Autor: | Halogene |
Ich werde mich Mittwoch spätestens wieder melden, dann hatten wir wieder Mathe und ich bin ne Runde schlauer. Aber danke erstmal für deine Hilfe.
Also Mittwoch gehts hier dann weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Halogene |
So ich habe mich nochmal (2h) damit auseinander gesetzt (danke für die Tipps) und das Prinzip verstanden.
Hilfreich war es sich jedesmal eine kleine Zeichnung der Gaußschen Normalverteilung zu machen und den gewollten Bereich zu makieren.
Vielen dank!
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