Nachweis einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei G eine nichtleere Menge und [mm] \circ: [/mm] G x G [mm] \to [/mm] G eine assoziative Operation. Es gebe mindestens ein linksneutrales Element e [mm] \in [/mm] G, d.h. [mm] e\circ [/mm] x für jedes x [mm] \in [/mm] G. Zu jedem x [mm] \in [/mm] G existiere mindestens ein linksinverses Element [mm] x^{-1} \in [/mm] G, d.h. [mm] x^{-1}\circ [/mm] x=e. Zeigen Sie, dass dann (G, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe ist. |
Hallo zusammen,
Ich habe mir bisher folgendes überlegt:
Kriterien für eine Gruppe sind doch:
-Assoziativität der Elemente, also für x,y,z [mm] \in [/mm] G:
(x [mm] \circ y)\circ [/mm] z=x [mm] \circ (y\circ [/mm] z)
-neutrales Element: es gibt genau ein e [mm] \in [/mm] G, sodass für jedes x [mm] \in [/mm] G gilt:
[mm] e\circ x=x\circ [/mm] e=x
-inverse Elemente: zu jedem x [mm] \in [/mm] G gibt es genau ein y [mm] \in [/mm] G mit
x [mm] \circ [/mm] y=y [mm] \circ [/mm] x=e
(Das alles geht ja noch aus der Definition einer Gruppe hervor)
Im Unterschied zur Definition haben wir hier „nur“ jeweils ein linksneutrales bzw ein linksinverses Element, wenn ich also zeige, dass jedes linksinverse/linksneutrale auch rechtsneutrales/rechtsinverses ist, ist doch gezeigt, dass [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe?
Muss ich jetzt effektiv zeigen, dass linksinvers=rechtsinvers und linksneutral=rechtsneutral?
Ich bin davon ausgegangen und habe mich versucht:
für(1) linksinvers=rechtsinvers ist zu zeigenn: e [mm] \in [/mm] G, x [mm] \in [/mm] G
e [mm] \circ [/mm] x= x [mm] \circ [/mm] e
(Da ich eigentlich nicht wirklich eine Vorstellung habe, wie ich das mathematisch korrekt zeigen kann, habe ich mal drauflosprobiert:)
e [mm] \circ [/mm] x=x, also e=x [mm] \circ x^{-1} [/mm] und da x [mm] \circ x^{-1}=e [/mm] stimmt das(?)
analog für x [mm] \circ [/mm] e=x, also [mm] e=x^{-1} \circ [/mm] x, also e=e
Jedoch würde dieser Ansatz ja voraus setzen, dass jedes linksinverse=rechtsinverses =) Muss ich einen komplett anderen Ansatz wählen, oder einfach zuerst linksinvers=rechtsinvers zeigen und mich dann darauf berufen?
Würde mich über Hilfe freuen!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> e $ [mm] \circ [/mm] $ x=x, also e=x $ [mm] \circ x^{-1} [/mm] $ und da x $ [mm] \circ x^{-1}=e [/mm] $ stimmt das(?)
Nein, das geht nicht so schnell.
Deinem "also" fehlt die Begründung.
Wie kannst du von e [mm] \circ [/mm] x = x auf $ e = x [mm] \circ x^{-1} [/mm] $ schließen ?
Du könntest die erste Gleichung mit [mm] x^{-1} [/mm] von links multiplizieren und erhälst $ [mm] x^{-1} \circ [/mm] e [mm] \circ [/mm] x = [mm] x^{-1} \circ [/mm] x = e $, was nichts besonderes ist, oder du multiplizierst sie von rechts mit [mm] x^{-1} [/mm] und erhälst $ e [mm] \circ [/mm] x [mm] \circ x^{-1} [/mm] = x [mm] \circ x^{-1} [/mm] $, was dich aber auch nicht weiter bringt.
Du weißt nämlich zunächst noch nicht, was $ x [mm] \circ x^{-1} [/mm] $ ist.
Der Beweis ist tatsächlich ziemlich "trickreich", er benutzt, dass [mm] x^{-1} [/mm] ebenfalls ein Linksinverses hat, nämlich [mm] (x^{-1})^{-1}, [/mm] für das also $ e = [mm] (x^{-1})^{-1} \circ x^{-1} [/mm] $ gilt.
Damit kannst du zunächst zeigen, dass [mm] x^{-1} [/mm] Rechtsinverses ist, indem du $ e [mm] \circ [/mm] x [mm] \circ x^{-1} [/mm] $ berechnest. Der Nachweis, dass e auch Rechtseins ist, ist dann etwas einfacher.
Gruß Sax.
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Danke für die Antwort.
Dieser „Trick“ ist mir nur halb klar geworden.
Ich sage zunächst [mm] (x^{-1})^{-1} [/mm] sei linksinverses von [mm] x^{-1}, [/mm] dann muss gelten:
[mm] (x^{-1})^{-1}\circ x^{-1}=e
[/mm]
Ab jetzt ist mir nicht klar, wie ich zeige, dass man daraus folgern kann, dass dann [mm] x^{-1} [/mm] auch rechtsinverses von x ist?
Wie komme ich auf e [mm] \circ [/mm] x [mm] \circ x^{-1} [/mm] ? (Vorschlag von dir)Wie rechne ich das aus?
Ich soll doch letztendlich zeigen dass
[mm] x^{-1}\circ x=x\circ x^{-1} [/mm]
Das ist mir leider noch nicht klar geworden.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
rechne $ e [mm] \circ [/mm] x [mm] \circ x^{-1} [/mm] $ auf zwei verschiedene Arten aus :
einmal, indem du benutzt, dass e Linkseins ist,
zum anderen, indem du $ e = [mm] (x^{-1})^{-1} \circ x^{-1} [/mm] $ für e einsetzt und dann zusammenfasst.
Die Ergebnisse müssen gleich sein !
Gruß Sax.
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