Nachweis der Anzahlgleichheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q$ sein Quotientenkörper. Zeige: ∣R∣=∣Q∣. |
Kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe angehen kann. Wie kann ich denn die Anzahl der Elemente eines ALLGEMEINEN Integritätsbereiches ermitteln und diese dann noch mit der Anzahl der Elemente eines Quotientenkörpers vergleichen?
Würde mich über Hilfe freuen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Di 11.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Für den Spezialfall, dass der Integritätsbereich ein Ring ist, glaube ich nicht, dass das gilt.
Man hat ja nur einen injektiven Ringhomomorphismus [mm]R\to Q(R), a\mapsto \frac{a}{1}[/mm]. Damit Der Quotientenkörper zum Ring isomorph ist, müsste die Abbildung auch surjektiv sein. Ist sie das? Ich wüsste nicht das es eine surjetive Abbildung ist. Für mich ist [mm]R\subset Q,R\neq Q[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Di 11.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Für den Spezialfall, dass der Integritätsbereich ein Ring
> ist, glaube ich nicht, dass das gilt.
> Man hat ja nur einen injektiven Ringhomomorphismus [mm]R\to Q(R), a\mapsto \frac{a}{1}[/mm].
> Damit Der Quotientenkörper zum Ring isomorph ist, müsste
> die Abbildung auch surjektiv sein. Ist sie das? Ich wüsste
> nicht das es eine surjetive Abbildung ist. Für mich ist
> [mm]R\subset Q,R\neq Q[/mm].
Nee! Z und Q sind bekanntlich gleichmächtig. Und um den Fall geht es wohl im wesentlichen auch. Endliche Integritätsringe sind immer Körper, und ob man hier die verschiedenen Überabzählbarkeiten unterscheiden soll, weiß ich im Moment noch nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Di 11.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Dieter,
> Endliche
> Integritätsringe sind immer Körper, und ob man hier die
> verschiedenen Überabzählbarkeiten unterscheiden soll,
> weiß ich im Moment noch nicht.
das kann man ruhig machen.
Ist $X$ eine unendliche Menge, so gibt es immer eine Bijektion $X [mm] \to [/mm] X [mm] \times [/mm] X$, und fuer ein Element $x [mm] \in [/mm] X$ eine Bijektion $X [mm] \to [/mm] X [mm] \setminus \{ x \}$.
[/mm]
Angewandt auf $X = R$, falls $R$ unendlich ist: Da es eine Surjektion $R [mm] \times [/mm] (R [mm] \setminus \{ 0 \}) \to [/mm] Q$ gibt, ist $Q$ immer hoechstens gleichmaechtig wie $R$.
Und dass $Q$ mindestens genauso maechtig ist wie $R$ folgt aus der Injektion $R [mm] \to [/mm] Q$, $x [mm] \mapsto \frac{x}{1}$.
[/mm]
(Ob das jetzt schon reicht haengt davon ab, wieviel man ueber Maechtigkeiten weiss bzw. verwenden darf.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Di 11.01.2011 | | Autor: | clemenum |
Er hat ja eine injektive Abbildung von R nach Q gefunden und somit ist ∣R∣≤∣Q∣, was ja nicht weiter verwunderlich ist (er hat sozusagen die Einbettung von R nach Q definiert). Aber nur weil diese Funktion nicht surjektiv ist, bedeutet das nicht, dass es keine injektive Funktion von Q nach R gibt und somit ∣Q∣≤∣R∣ ist und damit ∣Q∣=∣R∣. Bei endlichen Mengen wäre das etwas anderes. Aber wir arbeiten hier mit unendlichen Mengen und sowohl Q als auch R haben unendlich viele Mengen. Die Frage ist nur, ob die Art der Unendlichkeit gleich ist (z.B. abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich). Bei solchen Dingen versagt die Vorstellungskraft und es können seltsame Dinge geschehen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Di 11.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Er hat ja eine injektive Abbildung von R nach Q gefunden
> und somit ist ∣R∣≤∣Q∣, was ja nicht weiter
> verwunderlich ist (er hat sozusagen die Einbettung von R
> nach Q definiert).
Genau.
> Aber nur weil diese Funktion nicht
> surjektiv ist, bedeutet das nicht, dass es keine injektive
> Funktion von Q nach R gibt und somit ∣Q∣≤∣R∣ ist
> und damit ∣Q∣=∣R∣.
Ich hatte ja geschrieben, dass es eine surjektive Abbildung $R [mm] \to [/mm] Q$ gibt. Nach einem Satz folgt daraus: es gibt eine injektive Abbildung $Q [mm] \to [/mm] R$.
Wieder mit einem weiteren Satz folgt aus den injektiven Abbildungen $R [mm] \to [/mm] Q$ und $Q [mm] \to [/mm] R$, dass es eine bijektive Abbildung $R [mm] \to [/mm] Q$ gibt.
> Bei endlichen Mengen wäre das
> etwas anderes. Aber wir arbeiten hier mit unendlichen
> Mengen und sowohl Q als auch R haben unendlich viele
> Mengen. Die Frage ist nur, ob die Art der Unendlichkeit
> gleich ist (z.B. abzählbar unendlich oder überabzählbar
> unendlich).
Ja, ist sie.
> Bei solchen Dingen versagt die
> Vorstellungskraft und es können seltsame Dinge
> geschehen...
Hier aber nicht 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Do 13.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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