Nachweis Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 25.09.2014 | | Autor: | tabios |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgende Reihe konvergiert oder divergiert.
[mm] \summe_{n=1}^{n} 2^{1-3n} [/mm] |
Ich übe derzeit für eine schriftliche Prüfung in Analysis I und würde hier gern erfahren, ob mein Vorgehen formal und inhaltlich korrekt ist.
Zunächst betrachte ich kurz Reihe und Folge.
[mm] \summe_{n=1}^{n} 2^{1-3n}
[/mm]
= [mm] 2^{-2} [/mm] + [mm] 2^{-5} [/mm] + [mm] 2^{-8} [/mm] + ...
= [mm] \bruch{1}{2^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{5}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{8}} [/mm] + ...
= [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{2^{-1+3n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{2^{-1} * 2^{3n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{\bruch{1}{2}*2^{3n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{2}{2^{3n}}
[/mm]
Lösungsweg 1
Sei [mm] (b_{n})_{n \in \IN } [/mm] := [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] .
Wir wissen aus der Vorlesung, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert.
Da offensichtlich [mm] 2^{-1+3n} \ge n^{2} [/mm] und damit auch [mm] \bruch{2}{2^{3n}} \le \bruch{1}{n^{2}} [/mm] gilt, folgt die Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{n} 2^{1-3n}.
[/mm]
Wenn dies Klausuraufgabe wäre, müsste ich dann noch durch Induktion [mm] 2^{-1+3n} \ge n^{2} [/mm] beweisen?
Lösungsweg 2: Wurzelkriterium
[mm] \wurzel[n]{|\bruch{2}{2^{3n}}|}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{2^{3n}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{2^{\bruch{1}{n}*{3n}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{2^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{2}}{8} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm]
0 [mm] \le \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] absolute Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{n} 2^{1-3n} [/mm] nach Wurzelkriterium
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Zunächst betrachte ich kurz Reihe und Folge.
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> [mm]\summe_{n=1}^{n} 2^{1-3n}[/mm]
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> = [mm]2^{-2}[/mm] + [mm]2^{-5}[/mm] + [mm]2^{-8}[/mm] + ...
>
> = [mm]\bruch{1}{2^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{5}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{8}}[/mm] +
> ...
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{2^{-1+3n}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{2^{-1} * 2^{3n}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{\bruch{1}{2}*2^{3n}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{n} \bruch{2}{2^{3n}}[/mm]
Viel, viel, viel zu umständlich! Dafür hast du in der Klausur keine Zeit.
Lerne die Potenzgesetze:
[mm] $2^{1-3n} [/mm] = [mm] 2^1*2^{-3n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2^{3n}}$
[/mm]
> Wenn dies Klausuraufgabe wäre, müsste ich dann noch durch
> Induktion [mm]2^{-1+3n} \ge n^{2}[/mm] beweisen?
Ja, darum ist der Lösungsweg zwar korrekt, aber viel zu umständlich.
Also: Auch nicht Klausurgeeignet.
> Lösungsweg 2: Wurzelkriterium
>
> [mm]\wurzel[n]{|\bruch{2}{2^{3n}}|}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{2^{3n}}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{2^{\bruch{1}{n}*{3n}}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{2^3}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{8}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{2}}{8}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
>
> 0 [mm]\le \alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{8}[/mm] < 1 [mm]\Rightarrow[/mm] absolute
> Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{n} 2^{1-3n}[/mm] nach
> Wurzelkriterium
Der Weg ist wesentlich besser und auch ok.
Es gibt aber einen noch schnelleren mit Abschätzung über die geometrische Reihe, es gilt nämlich:
[mm] $2^{1-3n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2^{3n}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\left(2^3\right)^n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{8^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{8^{n-1}}$
[/mm]
Und damit:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty 2^{1-3n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\summe_{n=1}^\infty\bruch{1}{8^{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\summe_{n=0}^\infty \left(\bruch{1}{8}\right)^n$
[/mm]
Das hat den Vorteil, dass du die Reihe sogar ausrechnen kannst, wenn das gefordert wird!
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Do 25.09.2014 | | Autor: | tabios |
Gut, wird gelernt! Vielen Dank für Deine Antwort und den anschaulichen Tipp am Ende. :)
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