Nachw. Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Abbildung p: [mm] \IR \to \IR [/mm] der Gestalt
p(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k}x^k, a_{k} \in \IR, a_{n} \not=0,
[/mm]
heißt reelles Polynom vom Grad Grad (p) = n [mm] \in \IN_{0}.
[/mm]
Der Vektorraum aller reellen Polynome wird mit [mm] \IR[x] [/mm] bezeichnet.
a) Zeigen Sie: [mm] \IR[x]_{n} [/mm] := [mm] \{p \in \IR[x] : Grad(p) \le n \}
[/mm]
ist ein Vektorraum. |
Ich hab mal angefangen die Vektorraumkriterien für die Addition nachzuweisen.
(V1) [mm] \((x+y)+z [/mm] = [mm] \(x+(y+z)
[/mm]
[mm] \((\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{i}x^i) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}x^i
[/mm]
= [mm] \((\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i [/mm] + [mm] b_{i}x^i [/mm] ) + [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}x^i
[/mm]
= [mm] \(\summe_{i=1}^{n} x^i(a_{i} [/mm] + [mm] b_{i}) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}x^i
[/mm]
= [mm] \(\summe_{i=1}^{n} x^i(a_{i} [/mm] + [mm] b_{i} [/mm] + [mm] c_{i})
[/mm]
= [mm] \(\summe_{i=1}^{n} x^ia_{i} [/mm] + [mm] x^i(b_{i} [/mm] + [mm] c_{i})
[/mm]
= [mm] \(\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i [/mm] + [mm] (\summe_{i=1}^{n} b_{i}x^i [/mm] + [mm] c_{i}x^i [/mm] )
(V3) [mm] \(x+(-x)=(-x)+x=0
[/mm]
[mm] \(\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i-\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i
[/mm]
[mm] =\(\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i [/mm] - [mm] a_{i}x^i
[/mm]
[mm] =\(0
[/mm]
Stimmt das soweit ??? Oder hab ich da irgendeinen Denkfehler drin ???
(V4) [mm] \(x+y=y+x [/mm] würde ich analog machen.
nur (V2) [mm] \(x+0=x [/mm] macht mir etwas schwierigkeiten.
Und noch eine Frage. Sind eigentlich alle Polynome abelsche Gruppen ????
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> Eine Abbildung p: [mm]\IR \to \IR[/mm] der Gestalt
> p(x) = [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}x^k, a_{k} \in \IR, a_{n} \not=0,[/mm]
>
> heißt reelles Polynom vom Grad Grad (p) = n [mm]\in \IN_{0}.[/mm]
>
> Der Vektorraum aller reellen Polynome wird mit [mm]\IR[x][/mm]
> bezeichnet.
>
> a) Zeigen Sie: [mm]\IR[x]_{n}[/mm] := [mm]\{p \in \IR[x] : Grad(p) \le n \}[/mm]
>
> ist ein Vektorraum.
> Ich hab mal angefangen die Vektorraumkriterien für die
> Addition nachzuweisen.
>
> (V1) [mm]\((x+y)+z[/mm] = [mm]\(x+(y+z)[/mm]
>
> [mm]\((\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} b_{i}x^i)[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}x^i[/mm]
>
> = [mm]\((\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i[/mm] + [mm]b_{i}x^i[/mm] ) +
> [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}x^i[/mm]
>
> = [mm]\(\summe_{i=1}^{n} x^i(a_{i}[/mm] + [mm]b_{i})[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}x^i[/mm]
Das sieht ja durchaus gut aus. Etwas überrascht bin ich nur, dass Du nun plötzlich die Koeffizienten der [mm] $x^i$ [/mm] als Faktor hinter [mm] $x_i$ [/mm] stellst. - Aber es ist natürlich nicht falsch; nur irgendwie auf den ersten Blick merkwürdig.
>
> = [mm]\(\summe_{i=1}^{n} x^i(a_{i}[/mm] + [mm]b_{i}[/mm] + [mm]c_{i})[/mm]
>
> = [mm]\(\summe_{i=1}^{n} x^ia_{i}[/mm] + [mm]x^i(b_{i}[/mm] + [mm]c_{i})[/mm]
>
> = [mm]\(\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i[/mm] + [mm](\summe_{i=1}^{n} b_{i}x^i[/mm]
> + [mm]c_{i}x^i[/mm] )
>
> (V3) [mm]\(x+(-x)=(-x)+x=0[/mm]
>
> [mm]\(\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i-\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i[/mm]
>
> [mm]=\(\summe_{i=1}^{n} a_{i}x^i[/mm] - [mm]a_{i}x^i[/mm]
>
> [mm]=\(0[/mm]
>
>
> Stimmt das soweit ??? Oder hab ich da irgendeinen
> Denkfehler drin ???
Nein, ich denke, das sieht schon richtig aus.
>
> (V4) [mm]\(x+y=y+x[/mm] würde ich analog machen.
Nur zu.
>
> nur (V2) [mm]\(x+0=x[/mm] macht mir etwas schwierigkeiten.
Das erstaunt mich auch nicht, denn der Autor der Aufgabenstellung hat ganz vergessen zu erwähnen, was denn $0$ im Vektorraum der Polynome sein soll.
> Und noch eine Frage. Sind eigentlich alle Polynome abelsche
> Gruppen ????
Nein, ich denke Polynome sind kaum jemals abelschen Gruppen (man soll ja nie nie sagen, doch in diesem Falle bin ich versucht es dennoch zu tun), aber [mm] $\IR[x]_n$ [/mm] ist bezüglich $+$ eine abelsche Gruppe. Dies willst Du doch gerade zeigen: denn ein Vektorraum muss (unter anderem) bezüglich $+$ ("Vektoraddition") eine abelsche Gruppe sein.
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(V2) [mm] \(x+0=0+x=0
[/mm]
Wenn nichts anderes angegeben ist, kann ich dann sagen:
$ [mm] a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0 [/mm] $
Dann wäre:
[mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}x^i [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} 0x^i
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}x^i [/mm] + [mm] 0x^i
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n} 0x^i [/mm] + [mm] a_{i}x^i
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n} x^i(0 [/mm] + [mm] a_{i})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}x^i
[/mm]
Das geht doch, da nach dem fundamentalsatz der Algebra ein Polynom $p [mm] \not= [/mm] 0$ mit dem Grad $n$ höchstens $n$ Nullstellen besitzt.
Oder liege ich da falsch.
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> (V2) [mm]\(x+0=0+x=0[/mm]
>
> Wenn nichts anderes angegeben ist, kann ich dann sagen:
>
> [mm]a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0[/mm]
>
> Dann wäre:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^i[/mm] + [mm]\summe_{i=0}^{n} 0x^i[/mm]
Wenn Du nochmals einen Blick auf die in der Aufgabenstellung enthaltene Definition von "Polynom" wirfst, dann siehst Du, dass wegen des Zusatzes [mm] $a_n\neq [/mm] 0$ für [mm] $n\in \IN_0$ [/mm] der Fall des Nullpolynoms etwas problematisch erscheint.
Aber ich denke, für die praktische Rechnung darfst Du z.B. das Nullpolynom mit der leeren Summe, oder auch einfach $0 [mm] x^0$ [/mm] also schlichtweg $0$ identifizieren.
>
> = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^i[/mm] + [mm]0x^i[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=0}^{n} 0x^i[/mm] + [mm]a_{i}x^i[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=0}^{n} x^i(0[/mm] + [mm]a_{i})[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^i[/mm]
>
>
> Das geht doch, da nach dem fundamentalsatz der Algebra ein
> Polynom [mm]p \not= 0[/mm] mit dem Grad [mm]n[/mm] höchstens [mm]n[/mm] Nullstellen
> besitzt.
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> Oder liege ich da falsch.
Weshalb sollte es zur Rechtfertigung dieser simplen Umformung einer Summe nötig sein, den Fundamentalsatz der Algebra zu bemühen?
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| Aufgabe | | b) Beweisen Sie, dass für gegebene Polynome $ [mm] p_{1}, [/mm] . . . , [mm] p_{r} [/mm] (r [mm] \in \IN)$ [/mm] mit $ Grad (pj) = j$ die Menge ${p1, . . . , pr}$ linear unabhängig ist. |
Die Menge der Polynome sieht doch so aus:
[mm] \{(p_{1}=\summe_{i=0}^{1} a_{i}x^i),((p_{2}=\summe_{i=0}^{2} a_{i}x^i),...,(p_{r}=\summe_{i=0}^{r} a_{i}x^i) \}
[/mm]
Wie zeige ich denn, dass ein Polynom linear unabhängig ist.
Nach dem was ich weis, wäre das nur der Fall, wenn [mm] a_{0}=a_{1}=...=a_{r}=0 [/mm]
Oder ???
Kann mir jemand mal einen kleinen Schups in die richtige Richtung geben ??
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> b) Beweisen Sie, dass für gegebene Polynome [mm]p_{1}, . . . , p_{r} (r \in \IN)[/mm]
> mit [mm]Grad (pj) = j[/mm] die Menge [mm]{p1, . . . , pr}[/mm] linear
> unabhängig ist.
> Die Menge der Polynome sieht doch so aus:
>
> [mm]\{(p_{1}=\summe_{i=0}^{1} a_{i}x^i),((p_{2}=\summe_{i=0}^{2} a_{i}x^i),...,(p_{r}=\summe_{i=0}^{r} a_{i}x^i) \}[/mm]
>
> Wie zeige ich denn, dass ein Polynom linear unabhängig ist.
Du musst die lineare Unabhängigkeit einer Menge von Polynomen zeigen, nicht die "lineare Unabhängigkeit eines Polynoms".
> Nach dem was ich weis, wäre das nur der Fall, wenn
> [mm]a_{0}=a_{1}=...=a_{r}=0[/mm]
>
> Oder ???
>
> Kann mir jemand mal einen kleinen Schups in die richtige
> Richtung geben ??
Du könntest Dir leicht selbst einen Schups in die richtige Richtung verpassen, wenn Du mal ein einfaches Beispiel, sagen wir für $r=2$ hinschreiben würdest. Dabei verwendest Du, dass zwei Polynome genau dann gleich sind, wenn die Koeffizienten entsprechender Potenzen von $x$ gleich sind ("Koeffizientenvergleich"): Denn angenomnen, Du hast eine "Nullsumme" der Form
[mm]a_1 p_1 + a_2 p_2+\cdots a_r p_r = 0[/mm]
dann folgt, erstens, dass [mm] $a_r=0$ [/mm] sein muss: sonst wäre der Koeffizient [mm] $a_r$ [/mm] von [mm] $x^r$ [/mm] auf der linken Seite der Gleichung [mm] $\neq [/mm] 0$ (weil der Grad der Polynome [mm] $p_1, \ldots, p_{r-1}$ [/mm] ja $<r$ ist), also von der rechten Seite der Gleichung verschieden.
Nachdem Du nun weisst, dass [mm] $a_r=0$ [/mm] ist, kannst Du, zweitens, schliessen, dass auch [mm] $a_{r-1}=0$ [/mm] sein muss, denn sonst wäre der Koeffizient [mm] $a_{r-1}$ [/mm] von [mm] $x^{r-1}$ [/mm] auf der linken Seite [mm] $\neq [/mm] 0$, also vom Koeffizient von [mm] $x^{r-1}$ [/mm] auf der rechten Seite verschieden.
So machst Du weiter, bis klar ist, dass alle Koeffizienten [mm] $a_1, \ldots, a_r$ [/mm] gleich $0$ sind.
Und dann überlegst Du vielleicht noch, ob es nicht einen mathematisch eleganteren Beweis gibt, als ein solches, die Nullsumme schrittweise abbauendes Argument. Manche würden vermutlich einen Beweis durch vollständige Induktion nach $r$ bevorzugen.
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